ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 371 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(a\) функция \(y = ax^2 + (a — 2)x + \frac{1}{4}\) является квадратичной и её график имеет с осью абсцисс одну общую точку?

Квадратичная функция: \( y = ax^2 + (a — 2)x + \frac{1}{4} \).

Касается оси абсцисс, значит дискриминант равен нулю:

\( D = (a — 2)^2 — 4 \cdot a \cdot \frac{1}{4} = 0 \).

Раскроем скобки:

\( a^2 — 4a + 4 — a = 0 \).

Упростим:

\( a^2 — 5a + 4 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \).

Корни уравнения:

\( a_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \) и \( a_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \).

Ответ: 1; 4.

1. Рассмотрим функцию \( y = ax^2 + (a — 2)x + \frac{1}{4} \). Это квадратная функция, график которой представляет собой параболу. Чтобы парабола касалась оси абсцисс, необходимо, чтобы уравнение \( ax^2 + (a — 2)x + \frac{1}{4} = 0 \) имело ровно один корень. Это значит, что график касается оси \( x \) в одной точке, а не пересекает её в двух.

2. Для определения количества корней квадратного уравнения используется дискриминант \( D \), который вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a \), \( b \), \( c \) — коэффициенты уравнения. В нашем случае \( a = a \), \( b = a — 2 \), \( c = \frac{1}{4} \). Подставим эти значения в формулу: \( D = (a — 2)^2 — 4 \cdot a \cdot \frac{1}{4} \). Здесь важно внимательно раскрыть скобки и упростить выражение, чтобы получить удобную форму для решения.

3. Раскроем скобки: \( D = (a — 2)^2 — a = a^2 — 4a + 4 — a = a^2 — 5a + 4 \). Теперь мы получили квадратное уравнение относительно \( a \), которое нужно приравнять к нулю, так как касание графика с осью \( x \) происходит при \( D = 0 \). Значит, решаем уравнение \( a^2 — 5a + 4 = 0 \).

4. Решение квадратного уравнения производится по формуле корней: \( a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \), где теперь \( a=1 \), \( b=-5 \), \( c=4 \). Сначала вычислим дискриминант этого уравнения: \( \Delta = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \). Это положительное число, значит уравнение имеет два вещественных корня.

5. Найдем корни: \( a_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \), \( a_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \). Эти значения \( a \) гарантируют, что исходная функция будет касаться оси абсцисс в одной точке. Следовательно, ответом являются два значения: 1 и 4.