Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 373 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(a\) функция \(y = -4x^2 — 16x + a\) принимает отрицательные значения при всех действительных значениях \(x\)?
Задана функция: \(y = a — 4x^2 — 16x\).
Чтобы \(y < 0\) для всех \(x\), дискриминант должен быть меньше нуля:
\(D = (-16)^2 — 4 \cdot (-4) \cdot a < 0\).
Вычисляем:
\(D = 16^2 + 4 \cdot 4 \cdot a < 0\),
\(16a < -16^2\),
\(a < -16\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -16)\).
Функция задана как \(y = -4x^{2} — 16x + a\). Это квадратный трехчлен, где коэффициент при \(x^{2}\) равен \(-4\), то есть отрицателен. Отрицательный коэффициент при \(x^{2}\) означает, что график функции — парабола, которая направлена вниз, то есть её ветви открыты вниз. Из этого следует, что функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от параметра \(a\) и переменной \(x\).
Чтобы понять, при каких значениях \(a\) функция будет отрицательной для всех \(x\), нужно рассмотреть, когда парабола не пересекает ось \(x\). Пересечения с осью \(x\) соответствуют корням уравнения \(y = 0\), то есть решению квадратного уравнения \(-4x^{2} — 16x + a = 0\). Если у этого уравнения есть действительные корни, то функция в этих точках равна нулю, а между корнями она может принимать положительные значения из-за формы параболы. Чтобы функция была строго отрицательной для всех \(x\), уравнение не должно иметь действительных корней, то есть дискриминант должен быть меньше нуля.
Дискриминант квадратного уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^{2} — 4ac\). В нашем случае \(a = -4\), \(b = -16\), \(c = a\). Подставляя, получаем \(D = (-16)^{2} — 4 \cdot (-4) \cdot a = 256 + 16a\). Для отсутствия действительных корней дискриминант должен быть меньше нуля: \(256 + 16a < 0\). Решая это неравенство, получаем \(16a < -256\), откуда \(a < -16\). Следовательно, при всех значениях \(a\), меньших \(-16\), функция \(y = -4x^{2} — 16x + a\) будет принимать отрицательные значения для всех \(x \in \mathbb{R}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.