ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 378 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) находится в точке \(A(2; 5)\)?

Дана функция \(y = x^2 + px + q\).

1) Абсцисса вершины \(x_0 = -\frac{p}{2} = 2\), значит \(p = -4\).

2) Подставляем \(x = 2\) в функцию, чтобы найти \(q\):
\(y_0 = 2^2 — 4 \cdot 2 + q = 4 — 8 + q = q — 4\).

По условию \(y_0 = 5\), значит \(q — 4 = 5\), откуда \(q = 9\).

Ответ: \(p = -4\), \(q = 9\).

1) Рассмотрим функцию \(y = x^2 + px + q\), где \(p\) и \(q\) — неизвестные коэффициенты, которые нам нужно найти. Эта функция задаёт параболу, график которой имеет вершину — точку максимума или минимума. Вершина параболы — это особая точка, где касательная к графику горизонтальна, то есть наклон равен нулю. Для квадратичной функции вершина находится в точке с абсциссой \(x_0 = -\frac{p}{2}\). Это важная формула, которая позволяет связать коэффициент \(p\) с координатой вершины.

2) По условию задачи известно, что вершина параболы находится в точке \(A(2; 5)\). Это значит, что абсцисса вершины равна 2, а ордината — 5. Подставим \(x_0 = 2\) в формулу для абсциссы вершины: \(2 = -\frac{p}{2}\). Чтобы найти \(p\), умножим обе части уравнения на 2, получим \(4 = -p\). Отсюда следует, что \(p = -4\). Таким образом, мы нашли первый коэффициент.

3) Теперь нужно найти второй коэффициент \(q\). Для этого подставим значение \(x = 2\) и найденное \(p = -4\) в исходное уравнение функции: \(y = 2^2 + (-4) \cdot 2 + q = 4 — 8 + q = q — 4\). По условию, ордината вершины равна 5, значит \(y = 5\) при \(x = 2\). Приравниваем: \(q — 4 = 5\). Решая уравнение, получаем \(q = 9\). Теперь известны оба коэффициента: \(p = -4\) и \(q = 9\).

4) Итог: мы использовали формулу для нахождения вершины параболы, чтобы выразить \(p\) через координату вершины, а затем подставили найденное значение в уравнение функции, чтобы найти \(q\). Так мы полностью определили параметры параболы, которая проходит через заданную точку вершины.

5) Ответ: \(p = -4\), \(q = 9\).