ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 379 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) имеет вершину в точке \(C(4; -10)\) и проходит через точку \(D(1; -1)\). Найдите значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).

Дана функция \(y = ax^{2} + bx + c\).

Вершина \(C(4; -10)\), значит \(x_0 = 4\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = 4\), откуда \(b = -8a\).

Подставляем \(y_0 = -10\):

\(16a + 4b + c = -10\).

Подставляем \(b = -8a\):

\(16a — 32a + c = -10\),

отсюда \(c — 16a = -10\), значит \(c = 16a — 10\).

Точка \(D(1; -1)\) принадлежит графику:

\(a + b + c = -1\).

Подставляем \(b\) и \(c\):

\(a — 8a + 16a — 10 = -1\),

\(9a — 10 = -1\),

\(9a = 9\),

\(a = 1\).

Тогда \(b = -8\), \(c = 16 \cdot 1 — 10 = 6\).

Ответ: \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 6\).

1. Рассмотрим функцию параболы вида \(y = ax^{2} + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — неизвестные коэффициенты, которые нужно найти. Из условия задачи известно, что вершина параболы находится в точке \(C(4; -10)\), то есть при \(x = 4\) значение функции равно \(-10\). Вершина параболы — это точка максимума или минимума, и ее координаты связаны с коэффициентами функции. Формула для абсциссы вершины параболы — это \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Поскольку вершина задана, подставим \(x_0 = 4\), тогда получается уравнение \(-\frac{b}{2a} = 4\). Из этого уравнения выразим коэффициент \(b\) через \(a\): \(b = -8a\). Таким образом, мы нашли связь между двумя коэффициентами функции.

2. Теперь определим значение функции в точке вершины. Подставим \(x = 4\) в исходное уравнение: \(y = a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c = 16a + 4b + c\). Из условия известно, что при \(x = 4\) значение функции равно \(-10\), значит: \(16a + 4b + c = -10\). Подставим сюда выражение для \(b\), которое мы нашли ранее: \(b = -8a\). Тогда уравнение примет вид: \(16a + 4(-8a) + c = -10\), что упрощается до \(16a — 32a + c = -10\), или \(-16a + c = -10\). Выразим из этого уравнения \(c\): \(c = 16a — 10\). Теперь у нас есть выражения для \(b\) и \(c\) через \(a\).

3. Для определения конкретного значения \(a\) используем точку \(D(1; -1)\), которая принадлежит графику функции, то есть при \(x = 1\) значение функции равно \(-1\). Подставим эти координаты в уравнение параболы: \(-1 = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = a + b + c\). Подставим в это уравнение выражения для \(b\) и \(c\), которые зависят от \(a\): \(-1 = a + (-8a) + (16a — 10)\). Упростим выражение: \(-1 = a — 8a + 16a — 10 = 9a — 10\). Решим уравнение для \(a\): \(9a — 10 = -1\), значит \(9a = 9\), откуда \(a = 1\).

4. Подставим найденное значение \(a = 1\) в выражение для \(b\): \(b = -8 \cdot 1 = -8\). Аналогично подставим \(a = 1\) в выражение для \(c\): \(c = 16 \cdot 1 — 10 = 6\). Таким образом, мы нашли все три коэффициента функции: \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 6\).

5. Итог: функция параболы, удовлетворяющая всем условиям задачи, имеет вид \(y = 1 \cdot x^{2} — 8x + 6\), или проще \(y = x^{2} — 8x + 6\). Эта функция проходит через точки \(C(4; -10)\) и \(D(1; -1)\), а также имеет вершину в точке \(C\), что полностью соответствует заданным условиям.