ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 381 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой изображён на рисунке 67.

График задан формулой \(y(x) = ax^{2} + bx + c\).

Абсцисса вершины:

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = 0 \Rightarrow b = 0\).

Через точку (1; 0):

\(y(1) = a + b + c = a + 0 + c = 0 \Rightarrow a = -c\).

Через точку (2; 3):

\(y(2) = 4a + 2b + c = 4a + 0 + c = 3\).

Подставляем \(a = -c\):

\(4(-c) + c = 3 \Rightarrow -4c + c = 3 \Rightarrow -3c = 3 \Rightarrow c = -1\).

Тогда \(a = -(-1) = 1\).

Ордината вершины:

\(y(0) = c = -1\).

Ответ: \(-1\).

1. Функция, график которой мы рассматриваем, является квадратичной и задаётся уравнением \(y(x) = ax^{2} + bx + c\). Это стандартный вид параболы, где \(a\), \(b\) и \(c\) — неизвестные коэффициенты, которые нам нужно определить. Чтобы найти эти коэффициенты, мы будем использовать данные о вершине параболы и координатах двух точек, через которые она проходит.

2. Вершина параболы — это точка, в которой график достигает максимума или минимума. Абсцисса вершины вычисляется по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). В условии сказано, что вершина находится в точке с абсциссой \(x_0 = 0\). Подставим это значение в формулу: \(0 = -\frac{b}{2a}\). Чтобы равенство было верным, числитель должен быть равен нулю, то есть \(b = 0\). Это значит, что в уравнении функции отсутствует линейный член, и уравнение упростится до вида \(y = ax^{2} + c\).

3. Теперь используем точку (1; 0), которая принадлежит графику. Подставим \(x = 1\) и \(y = 0\) в уравнение: \(0 = a \cdot 1^{2} + 0 + c = a + c\). Отсюда получаем равенство \(a = -c\). Это важное соотношение, которое связывает коэффициенты \(a\) и \(c\).

4. Следующая точка, через которую проходит график, — это (2; 3). Подставим её координаты в уравнение: \(3 = a \cdot 2^{2} + 0 + c = 4a + c\). Теперь мы можем заменить \(a\) на \(-c\), используя найденное ранее выражение: \(3 = 4(-c) + c = -4c + c = -3c\).

5. Решаем уравнение \(-3c = 3\). Делим обе части на \(-3\), получаем \(c = -1\). Подставляем это значение обратно в выражение для \(a\): \(a = -c = 1\). Таким образом, коэффициенты функции равны \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -1\).

6. Чтобы найти ординату вершины параболы, подставим \(x_0 = 0\) в уравнение: \(y(0) = 1 \cdot 0^{2} + 0 + (-1) = -1\). Значит, вершина параболы находится в точке с координатами \((0; -1)\).

Ответ: \(-1\).