ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 382 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма двух чисел равна 10. Найдите:

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Пусть \( a + b = 10 \), тогда \( a = 10 — b \).

1) Произведение \( D = ab = b(10 — b) = 10b — b^2 \).

Максимум функции \( D = -b^2 + 10b \) достигается при \( b_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5 \).

Тогда \( D_0 = 10 \cdot 5 — 5^2 = 50 — 25 = 25 \).

Ответ: 25.

2) Сумма квадратов \( S = a^2 + b^2 = (10 — b)^2 + b^2 = 100 — 20b + b^2 + b^2 = 100 — 20b + 2b^2 \).

Минимум функции \( S = 2b^2 — 20b + 100 \) достигается при \( b_0 = -\frac{-20}{2 \cdot 2} = 5 \).

Тогда \( S_0 = 2 \cdot 5^2 — 20 \cdot 5 + 100 = 50 — 100 + 100 = 50 \).

Ответ: 50.

1) Рассмотрим два числа \( a \) и \( b \), сумма которых равна 10, то есть \( a + b = 10 \). Это условие можно переписать так: если мы знаем значение одного из чисел, например \( b \), то другое число \( a \) выражается как \( a = 10 — b \). Это важно, потому что теперь мы можем работать с одним переменным \( b \), а не двумя.

Далее нам нужно найти максимальное значение произведения этих чисел \( D = ab \). Подставим выражение для \( a \) в формулу произведения: \( D = b(10 — b) = 10b — b^2 \). Получилась функция квадратичного вида, где переменная \( b \) принимает значения от 0 до 10, так как оба числа должны быть положительными и их сумма равна 10.

Функция \( D = -b^2 + 10b \) представляет собой параболу, направленную ветвями вниз, так как коэффициент при \( b^2 \) отрицательный. Максимум такой функции достигается в вершине параболы, координату которой можно найти по формуле \( b_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \), а \( b = 10 \) — коэффициенты из функции. Подставляя, получаем \( b_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5 \). Это означает, что произведение максимально, когда \( b = 5 \), а тогда \( a = 10 — 5 = 5 \).

Теперь подставим эти значения в формулу для произведения: \( D_0 = 5 \cdot 5 = 25 \). Значит, максимальное произведение двух чисел с суммой 10 равно 25.

2) Теперь рассмотрим сумму квадратов этих же чисел: \( S = a^2 + b^2 \). Подставим \( a = 10 — b \) в это выражение: \( S = (10 — b)^2 + b^2 \). Раскроем скобки: \( S = 100 — 20b + b^2 + b^2 = 100 — 20b + 2b^2 \). Получилась квадратичная функция относительно \( b \).

Эта функция \( S = 2b^2 — 20b + 100 \) — парабола, направленная ветвями вверх, так как коэффициент при \( b^2 \) положительный. Минимум функции достигается в вершине параболы, координату которой можно найти по формуле \( b_0 = -\frac{-20}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5 \).

Подставим \( b_0 = 5 \) в выражение для суммы квадратов: \( S_0 = 2 \cdot 5^{2} — 20 \cdot 5 + 100 = 2 \cdot 25 — 100 + 100 = 50 \). Следовательно, минимальная сумма квадратов двух чисел с суммой 10 равна 50.