ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 383 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь участка земли прямоугольной формы, огороженного забором длиной 160 м, будет наибольшей, когда длина и ширина участка равны, то есть \(80 \times 80 = 6400\) кв.м.

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). Периметр равен \(2a + 2b = 160\), значит \(a = 80 — b\). Площадь равна \(S = a \cdot b = b(80 — b) = 80b — b^2\). Чтобы найти максимальную площадь, найдём вершину параболы: \(b_0 = -\frac{80}{2 \cdot (-1)} = 40\). Тогда \(a_0 = 80 — 40 = 40\). Максимальная площадь равна \(S_0 = 40 \cdot 40 = 1600\) м². Ответ: 1600 м².

1. Рассмотрим прямоугольный участок земли, у которого стороны обозначим через \(a\) и \(b\). Периметр этого прямоугольника — это сумма всех его сторон, то есть \(2a + 2b\). По условию задачи периметр равен 160 метров, следовательно, можно записать уравнение \(2a + 2b = 160\). Это уравнение связывает длины сторон прямоугольника между собой.

2. Чтобы упростить задачу, выразим одну сторону через другую. Выразим \(a\) через \(b\). Для этого разделим уравнение периметра на 2: \(a + b = 80\), откуда \(a = 80 — b\). Теперь площадь участка \(S\) можно записать через одну переменную \(b\), так как площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S = a \cdot b\). Подставим выражение для \(a\) в формулу площади: \(S = b(80 — b) = 80b — b^2\).

3. Получили функцию площади \(S(b) = 80b — b^2\), которая является квадратичной функцией с отрицательным коэффициентом при \(b^2\), что значит график функции — парабола, ветвь которой направлена вниз. Максимальное значение площади будет достигаться в вершине этой параболы. Формула для координаты вершины параболы, заданной функцией \(S(b) = -b^2 + 80b\), равна \(b_0 = -\frac{80}{2 \cdot (-1)} = 40\).

4. Найдя оптимальное значение \(b_0 = 40\), подставим его обратно, чтобы найти соответствующую сторону \(a_0\). По формуле \(a = 80 — b\) получаем \(a_0 = 80 — 40 = 40\). Таким образом, чтобы площадь была максимальной, стороны прямоугольника должны быть равны 40 метров, то есть участок должен быть квадратом.

5. Найдём максимальную площадь, умножив найденные стороны: \(S_0 = 40 \cdot 40 = 1600\) квадратных метров. Значит максимальная площадь участка с периметром 160 метров равна  1600 м².