ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 384 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \frac{8x + 2x^2 — x^3}{x} \);

2) \( y = \frac{x^3 — 8}{x — 2} — 3 \);

3) \( y = \frac{x^4 — 16}{x^2 — 4} \);

4) \( y = \frac{x^4 + 4x^2 — 5}{x^2 — 1} \).

1) \( y = \frac{8x + 2x^2 — x^3}{x} = \frac{8x}{x} + \frac{2x^2}{x} — \frac{x^3}{x} = 8 + 2x — x^2 \), \( x \neq 0 \).

2) \( y = \frac{x^3 — 8}{x — 2} — 3 = \frac{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)}{x — 2} — 3 = x^2 + 2x + 4 — 3 = x^2 + 2x + 1 \), \( x \neq 2 \).

3) \( y = \frac{x^4 — 16}{x^2 — 4} = \frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4)}{x^2 — 4} = x^2 + 4 \), \( x \neq \pm 2 \).

4) \( y = \frac{x^4 + 4x^2 — 5}{x^2 — 1} = \frac{(x^2 + 5)(x^2 — 1)}{x^2 — 1} = x^2 + 5 \), \( x \neq \pm 1 \).

1) Рассмотрим функцию \( y = \frac{8x + 2x^2 — x^3}{x} \). В числителе у нас выражение, состоящее из трёх слагаемых: \( 8x \), \( 2x^2 \) и \( -x^3 \). Чтобы упростить дробь, нужно каждое слагаемое разделить на знаменатель \( x \), при условии, что \( x \neq 0 \), потому что деление на ноль невозможно. Делим поочерёдно: \( \frac{8x}{x} = 8 \), так как \( x \) сокращается; \( \frac{2x^2}{x} = 2x \), так как степень \( x \) уменьшается на 1; и \( \frac{-x^3}{x} = -x^2 \), где также степень уменьшается на 1. После этого получаем выражение \( y = 8 + 2x — x^2 \), что является многочленом второй степени. Это упрощение позволяет нам работать с более простым выражением, сохраняя область определения функции \( x \neq 0 \).

2) Для функции \( y = \frac{x^3 — 8}{x — 2} — 3 \) сначала обратим внимание на числитель \( x^3 — 8 \). Это разность кубов, которую можно разложить по формуле \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \). Здесь \( a = x \), \( b = 2 \), поэтому \( x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4) \). Подставляем это разложение в выражение: \( y = \frac{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)}{x — 2} — 3 \). При этом важно отметить, что \( x \neq 2 \), чтобы не было деления на ноль. Сокращаем множитель \( x — 2 \) в числителе и знаменателе, получая \( y = x^2 + 2x + 4 — 3 \). Теперь просто вычитаем 3, что даёт \( y = x^2 + 2x + 1 \). Таким образом, исходная функция сводится к квадратному многочлену с ограничением на область определения.

3) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^4 — 16}{x^2 — 4} \). Здесь числитель и знаменатель — разности квадратов. Числитель \( x^4 — 16 \) можно представить как \( (x^2)^2 — 4^2 \), что раскладывается в произведение \( (x^2 — 4)(x^2 + 4) \). Подставляем это в дробь: \( y = \frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4)}{x^2 — 4} \). При этом \( x^2 — 4 \neq 0 \), то есть \( x \neq \pm 2 \), чтобы избежать деления на ноль. Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе, остаётся \( y = x^2 + 4 \). Такое упрощение позволяет избавиться от сложной дроби и работать с более простой функцией, сохраняя область определения.

4) Функция \( y = \frac{x^4 + 4x^2 — 5}{x^2 — 1} \) имеет в числителе многочлен четвёртой степени. Попытаемся разложить числитель на множители. Ищем два числа, произведение которых равно \( -5 \), а сумма — \( 4 \), для разложения по формуле квадратного трехчлена по переменной \( x^2 \). Получаем разложение \( x^4 + 4x^2 — 5 = (x^2 + 5)(x^2 — 1) \). Подставляем в исходную функцию: \( y = \frac{(x^2 + 5)(x^2 — 1)}{x^2 — 1} \). При этом \( x^2 — 1 \neq 0 \), то есть \( x \neq \pm 1 \). Сокращаем множители, и остаётся \( y = x^2 + 5 \). Таким образом, исходная функция упрощается до квадратичной, с учётом ограничений области определения.