ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 386 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = x|x| \);

2) \( y = \frac{x}{|x|}(x^2 — x — 6) \);

3) \( y = x^2 — 4|x| + 3 \);

4) \( y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x — 3|}{x — 3} — 4 \).

1) \( y = x|x| \)
Если \( x \geq 0 \), то \( y = x \cdot x = x^2 \).
Если \( x < 0 \), то \( y = x \cdot (-x) = -x^2 \).
Ответ:
\( y = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases} \)

2) \( y = \frac{x}{|x|}(x^2 — x — 6) \)
Если \( x > 0 \), то \( \frac{x}{|x|} = 1 \), значит \( y = x^2 — x — 6 \).
Если \( x < 0 \), то \( \frac{x}{|x|} = -1 \), значит \( y = -(x^2 — x — 6) = -x^2 + x + 6 \).
Ответ:
\( y = \begin{cases} x^2 — x — 6, & x > 0 \\ -x^2 + x + 6, & x < 0 \end{cases} \)

3) \( y = x^2 — 4|x| + 3 \)
Если \( x \geq 0 \), то \( y = x^2 — 4x + 3 \).
Если \( x < 0 \), то \( y = x^2 — 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3 \).
Ответ:
\( y = \begin{cases} x^2 — 4x + 3, & x \geq 0 \\ x^2 + 4x + 3, & x < 0 \end{cases} \)

4) \( y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x — 3|}{x — 3} — 4 \)
Если \( x > 3 \), то \( \frac{|x — 3|}{x — 3} = 1 \), значит \( y = x^2 + 3x — 4 \).
Если \( x < 3 \), то \( \frac{|x — 3|}{x — 3} = -1 \), значит \( y = x^2 — 3x — 4 \).
Ответ:
\( y = \begin{cases} x^2 + 3x — 4, & x > 3 \\ x^2 — 3x — 4, & x < 3 \end{cases} \)

1) Рассмотрим функцию \( y = x|x| \). Здесь важно понять, что знак выражения зависит от значения \( x \), потому что модуль \( |x| \) всегда неотрицателен, но при умножении на \( x \) поведение меняется в зависимости от знака \( x \). Если \( x \) положительно или равно нулю, то \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = x \cdot x = x^{2} \). Это обычная квадратичная функция, которая всегда неотрицательна и имеет форму параболы, направленной вверх.

Если же \( x \) отрицательно, то \( |x| = -x \), так как модуль меняет знак отрицательного числа на положительный. Тогда функция становится \( y = x \cdot (-x) = -x^{2} \). В этом случае функция принимает отрицательные значения, так как знак минус стоит перед квадратом. График функции для отрицательных \( x \) будет отражением вниз параболы \( x^{2} \).

Таким образом, функция \( y = x|x| \) разбивается на два выражения в зависимости от знака \( x \):
\( y = \begin{cases} x^{2}, & x \geq 0 \\ -x^{2}, & x < 0 \end{cases} \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x}{|x|}(x^{2} — x — 6) \). Здесь ключевой момент — дробь \( \frac{x}{|x|} \), которая определяет знак функции в зависимости от \( x \). Если \( x > 0 \), то \( |x| = x \), и дробь равна \( \frac{x}{x} = 1 \). Значит, функция упрощается до \( y = 1 \cdot (x^{2} — x — 6) = x^{2} — x — 6 \). Это квадратичная функция с обычным знаком.

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и дробь становится \( \frac{x}{-x} = -1 \). Тогда функция меняет знак и принимает вид \( y = -1 \cdot (x^{2} — x — 6) = -x^{2} + x + 6 \). Это отражение исходной квадратичной функции относительно оси \( x \).

Таким образом, функция принимает разные выражения в зависимости от знака \( x \):
\( y = \begin{cases} x^{2} — x — 6, & x > 0 \\ -x^{2} + x + 6, & x < 0 \end{cases} \).

3) Рассмотрим функцию \( y = x^{2} — 4|x| + 3 \). Здесь модуль \( |x| \) влияет на знак второго слагаемого. Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = x^{2} — 4x + 3 \). Это квадратичная функция со стандартным выражением, где второй член отрицательный, что влияет на форму графика.

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и функция становится \( y = x^{2} — 4(-x) + 3 = x^{2} + 4x + 3 \). Здесь знак второго члена меняется на положительный, что меняет форму графика и его расположение относительно оси \( y \).

Итоговое выражение для функции с учетом знака \( x \) такое:
\( y = \begin{cases} x^{2} — 4x + 3, & x \geq 0 \\ x^{2} + 4x + 3, & x < 0 \end{cases} \).

4) Рассмотрим функцию \( y = x^{2} + 3x \cdot \frac{|x — 3|}{x — 3} — 4 \). Здесь важен дробный множитель \( \frac{|x — 3|}{x — 3} \), который меняет знак в зависимости от того, больше или меньше \( x \) числа 3.

Если \( x > 3 \), то \( |x — 3| = x — 3 \), значит \( \frac{|x — 3|}{x — 3} = 1 \). Подставим в функцию:
\( y = x^{2} + 3x \cdot 1 — 4 = x^{2} + 3x — 4 \). Это квадратичная функция с положительным вторым членом.

Если \( x < 3 \), то \( |x — 3| = 3 — x \), и дробь становится \( \frac{3 — x}{x — 3} = -1 \), так как числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Тогда функция принимает вид:
\( y = x^{2} + 3x \cdot (-1) — 4 = x^{2} — 3x — 4 \). Здесь второй член отрицательный, что меняет форму графика.

Точка \( x = 3 \) исключается из области определения, так как знаменатель равен нулю, и функция не определена.

Итог:
\( y = \begin{cases} x^{2} + 3x — 4, & x > 3 \\ x^{2} — 3x — 4, & x < 3 \end{cases} \).