ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 387 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \frac{x^3}{|x|} + 4x \);

2) \( y = 6|x| — x^2 \).

1) \( y = \frac{x^3}{|x|} + 4x \)

Если \(x > 0\), то \( |x| = x \), тогда

\( y = \frac{x^3}{x} + 4x = x^2 + 4x \).

Если \(x < 0\), то \( |x| = -x \), тогда

\( y = \frac{x^3}{-x} + 4x = -x^2 + 4x \).

При \(x = 0\) функция не определена.

2) \( y = 6|x| — x^2 \)

Если \(x \geq 0\), то \( |x| = x \), тогда

\( y = 6x — x^2 \).

Если \(x < 0\), то \( |x| = -x \), тогда

\( y = 6(-x) — x^2 = -6x — x^2 \).

1) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^3}{|x|} + 4x \). Здесь ключевым моментом является понимание, что такое абсолютное значение \( |x| \). Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой оси, то есть всегда неотрицательное число. Если \( x \) положительно, то \( |x| = x \), а если отрицательно, то \( |x| = -x \). Это важно, потому что в формуле в знаменателе стоит именно \( |x| \), а не просто \( x \).

Для случая, когда \( x > 0 \), подставляем \( |x| = x \) в формулу:

\( y = \frac{x^3}{x} + 4x \).

Деление \( \frac{x^3}{x} \) упрощается, так как степени при делении вычитаются:

\( \frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2 \).

Таким образом, при \( x > 0 \) функция принимает вид:

\( y = x^2 + 4x \).

Это выражение — простой многочлен второй степени с дополнительным линейным членом.

Если же \( x < 0 \), то абсолютное значение меняет знак, и \( |x| = -x \), потому что \( x \) отрицательно, а абсолютное значение всегда положительно. Подставим это в формулу:

\( y = \frac{x^3}{-x} + 4x = -\frac{x^3}{x} + 4x \).

Опять упрощаем дробь:

\( \frac{x^3}{x} = x^2 \),

поэтому

\( y = -x^2 + 4x \).

Здесь знак перед \( x^2 \) изменился на минус, что меняет форму графика функции для отрицательных значений \( x \).

При \( x = 0 \) функция не определена, так как знаменатель \( |x| = 0 \), а деление на ноль невозможно. Значит, точка \( x = 0 \) исключена из области определения функции.

2) Рассмотрим функцию \( y = 6|x| — x^2 \). Здесь абсолютное значение \( |x| \) стоит в первом слагаемом, и оно влияет на знак и величину этого слагаемого.

Если \( x \geq 0 \), то абсолютное значение не меняет знак, \( |x| = x \), и функция записывается так:

\( y = 6x — x^2 \).

Это выражение представляет собой разность линейного члена \( 6x \) и квадратичного члена \( x^2 \). При больших положительных \( x \) квадратный член растет быстрее, чем линейный, поэтому функция сначала растет, а потом убывает.

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), потому что \( x \) отрицательно, а абсолютное значение неотрицательно. Подставим это в формулу:

\( y = 6(-x) — x^2 = -6x — x^2 \).

Здесь первый член становится отрицательным линейным выражением, а второй остается отрицательным квадратичным членом. Такая функция для отрицательных \( x \) имеет другую форму, чем для положительных.

Таким образом, функция \( y = 6|x| — x^2 \) является кусочно-заданной, где для \( x \geq 0 \) она выражается формулой \( 6x — x^2 \), а для \( x < 0 \) — формулой \( -6x — x^2 \). Важно понимать, как абсолютное значение меняет знак и влияет на поведение функции на разных промежутках.