ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 389 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = -x^2 — 4x + 5 \). Используя построенный график, определите, сколько корней имеет уравнение \( -x^2 — 4x + 5 = a \) в зависимости от значения \( a \).

Дана функция: \(y = -x^2 — 4x + 5\).

Найдём вершину параболы: \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2\).

Подставим \(x_0\) в функцию: \(y_0 = -(-2)^2 — 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\).

Уравнение: \(-x^2 — 4x + 5 = a\).

Количество корней зависит от дискриминанта: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (5 — a) = 16 + 4(5 — a) = 36 — 4a\).

1) Два корня, если \(D > 0\), то есть \(36 — 4a > 0\), значит \(a < 9\). 2) Один корень, если \(D = 0\), то есть \(a = 9\). 3) Нет корней, если \(D < 0\), то есть \(a > 9\).

Дана квадратичная функция \(y = -x^{2} — 4x + 5\). Чтобы понять, как изменяется график этой функции и как зависят корни уравнения от параметра \(a\), сначала найдём вершину параболы. Вершина — это точка, где функция достигает максимума или минимума. Формула для координаты вершины по оси \(x\) — это \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) — коэффициенты при \(x^{2}\) и \(x\) соответственно. В нашем случае \(a = -1\), \(b = -4\), значит \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2\). Это значение \(x\) — абсцисса вершины параболы. Чтобы найти ординату вершины, подставим \(x_0\) в функцию: \(y_0 = -(-2)^{2} — 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\). Значит вершина находится в точке \((-2; 9)\), и поскольку коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный, парабола направлена вниз, а вершина — максимум функции.

Теперь рассмотрим уравнение \(-x^{2} — 4x + 5 = a\), где \(a\) — некоторое число. Чтобы понять, сколько корней будет у этого уравнения при разных значениях \(a\), перепишем его в стандартном виде: \(-x^{2} — 4x + (5 — a) = 0\). Это квадратное уравнение с коэффициентами \(a = -1\), \(b = -4\), \(c = 5 — a\). Для нахождения количества корней используем дискриминант \(D = b^{2} — 4ac\). Подставим наши значения: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot (-1) \cdot (5 — a) = 16 + 4(5 — a) = 16 + 20 — 4a = 36 — 4a\). Дискриминант показывает, сколько корней будет у уравнения: если \(D > 0\), то два корня; если \(D = 0\), один корень; если \(D < 0\), корней нет. Рассмотрим теперь каждое условие подробнее. При \(D > 0\) имеем \(36 — 4a > 0\), откуда \(a < 9\). Это означает, что если значение \(a\) меньше 9, у уравнения будет два различных корня — график пересекает прямую \(y = a\) в двух точках. При \(D = 0\) имеем \(36 - 4a = 0\), откуда \(a = 9\). Тогда уравнение имеет ровно один корень — касательную к параболе в вершине, график касается линии \(y = 9\) в одной точке. При \(D < 0\) получаем \(36 - 4a < 0\), откуда \(a > 9\). В этом случае уравнение не имеет корней, то есть график параболы лежит ниже линии \(y = a\) и не пересекает её.