ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 392 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \( x^4 — 13x^2 + 36 = 0 \);
2) \( x^4 — 5x^2 — 6 = 0 \);
3) \( x^4 + 9x^2 + 8 = 0 \);
4) \( x^4 — 16x^2 = 0 \).

1) \(x^4 — 13x^2 + 36 = 0\)

\(D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25\)

\(x_1^2 = \frac{13 — 5}{2} = 4\), \(x_2^2 = \frac{13 + 5}{2} = 9\)

\(x_1 = \pm \sqrt{4} = \pm 2\), \(x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3\)

Ответ: \(-3; -2; 2; 3\)

2) \(x^4 — 5x^2 — 6 = 0\)

\(D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49\)

\(x_1^2 = \frac{5 — 7}{2} = -1\), \(x_2^2 = \frac{5 + 7}{2} = 6\)

\(x_1 \in \emptyset\), \(x_2 = \pm \sqrt{6}\)

Ответ: \(-\sqrt{6}; \sqrt{6}\)

3) \(x^4 + 9x^2 + 8 = 0\)

\(D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49\)

\(x_1^2 = \frac{-9 — 7}{2} = -8\), \(x_2^2 = \frac{-9 + 7}{2} = -1\)

\(x_1 \in \emptyset\), \(x_2 \in \emptyset\)

Ответ: корней нет

4) \(x^4 — 16x^2 = 0\)

\(x^2(x^2 — 16) = 0\)

\((x + 4)(x — 4) x^2 = 0\)

\(x_1 = -4\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 4\)

Ответ: \(-4; 0; 4\)

1) Рассмотрим уравнение \(x^{4} — 13x^{2} + 36 = 0\). Сделаем замену \(y = x^{2}\), тогда уравнение примет вид \(y^{2} — 13y + 36 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = (-13)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 — 144 = 25\).

Найдём корни уравнения для \(y\): \(y_{1} = \frac{13 — 5}{2} = 4\), \(y_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9\).

Возвращаемся к переменной \(x\): \(x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2\), \(x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3\).

Ответ: \(-3; -2; 2; 3\).

2) Рассмотрим уравнение \(x^{4} — 5x^{2} — 6 = 0\). Подставим \(y = x^{2}\), получим \(y^{2} — 5y — 6 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = (-5)^{2} + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49\).

Найдём корни: \(y_{1} = \frac{5 — 7}{2} = -1\), \(y_{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6\).

Так как \(y = x^{2} \geq 0\), корень \(y_{1} = -1\) не подходит.

Из \(y_{2} = 6\) находим \(x = \pm \sqrt{6}\).

Ответ: \(-\sqrt{6}; \sqrt{6}\).

3) Рассмотрим уравнение \(x^{4} + 9x^{2} + 8 = 0\). Сделаем замену \(y = x^{2}\), тогда \(y^{2} + 9y + 8 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = 9^{2} — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49\).

Найдём корни: \(y_{1} = \frac{-9 — 7}{2} = -8\), \(y_{2} = \frac{-9 + 7}{2} = -1\).

Так как оба корня отрицательны, а \(y = x^{2} \geq 0\), решений нет.

Ответ: корней нет.

4) Рассмотрим уравнение \(x^{4} — 16x^{2} = 0\). Вынесем общий множитель: \(x^{2}(x^{2} — 16) = 0\).

Решаем каждое уравнение отдельно: \(x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0\), \(x^{2} — 16 = 0 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4\).

Ответ: \(-4; 0; 4\).