ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 395 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение:
1) \((2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a — 6\sqrt{ab} + 9b) — 9\sqrt{9b^3}\);
2) \(\left(3\sqrt{2} — 2\sqrt{28} + 4\sqrt{63}\right) \cdot \sqrt{7} — \sqrt{126}\);
3) \((2 — \sqrt{3} + \sqrt{6})(2 + \sqrt{3} — \sqrt{6})\).

1) \((2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a — 6\sqrt{ab} + 9b) — 9\sqrt{9b^{3}} = 2^{3} \cdot (\sqrt{a})^{3} + 3^{3} \cdot (\sqrt{b})^{3}-\)
\( — 9 \cdot 3b\sqrt{b} = 8a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b} — 27b\sqrt{b} = 8a\sqrt{a}\);

2) \((3\sqrt{2} — 2\sqrt{28} + 4\sqrt{63}) \cdot \sqrt{7} — \sqrt{126} = (3\sqrt{2} — 2 \cdot 2\sqrt{7} +\)
\( +4 \cdot 3\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} — 3\sqrt{14} = (3\sqrt{2} — 4\sqrt{7} + 12\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} — 3\sqrt{14} =\)
\(= (3\sqrt{2} + 8\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} — 3\sqrt{14} = 3\sqrt{14} + 8 \cdot 7 — 3\sqrt{14} = 56\);

3) \((2 — \sqrt{3} + \sqrt{6})(2 + \sqrt{3} — \sqrt{6}) = (2 — (\sqrt{3} — \sqrt{6}))(2 + (\sqrt{3} — \sqrt{6})) =\)
\(= 2^{2} — (\sqrt{3} — \sqrt{6})^{2} = 4 — (3 — 2\sqrt{18} + 6) = 4 — 9 + 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} — 5=\)
\( = 6\sqrt{2} — 5\).

1) Раскроем скобки в выражении \((2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a — 6\sqrt{ab} + 9b)\):

\(2\sqrt{a} \cdot 4a = 8a\sqrt{a}\)

\(2\sqrt{a} \cdot (-6\sqrt{ab}) = -12a\sqrt{b}\)

\(2\sqrt{a} \cdot 9b = 18b\sqrt{a}\)

\(3\sqrt{b} \cdot 4a = 12a\sqrt{b}\)

\(3\sqrt{b} \cdot (-6\sqrt{ab}) = -18b\sqrt{a}\)

\(3\sqrt{b} \cdot 9b = 27b\sqrt{b}\)

Складываем полученные выражения:

\(8a\sqrt{a} — 12a\sqrt{b} + 18b\sqrt{a} + 12a\sqrt{b} — 18b\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}\)

Упрощаем, сокращая подобные слагаемые:

\(-12a\sqrt{b} + 12a\sqrt{b} = 0\)

\(18b\sqrt{a} — 18b\sqrt{a} = 0\)

Остаётся:

\(8a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}\)

Вычитаем \(9\sqrt{9b^{3}}\):

\(\sqrt{9b^{3}} = 3b\sqrt{b}\), значит \(9 \cdot 3b\sqrt{b} = 27b\sqrt{b}\)

Итог:

\(8a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b} — 27b\sqrt{b} = 8a\sqrt{a}\)

2) Упростим выражение \((3\sqrt{2} — 2\sqrt{28} + 4\sqrt{63}) \cdot \sqrt{7} — \sqrt{126}\):

Сначала упростим корни:

\(\sqrt{28} = 2\sqrt{7}\), \(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\), \(\sqrt{126} = 3\sqrt{14}\)

Подставим:

\((3\sqrt{2} — 2 \cdot 2\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} — 3\sqrt{14}\)

Вычислим внутри скобок:

\(3\sqrt{2} — 4\sqrt{7} + 12\sqrt{7} = 3\sqrt{2} + 8\sqrt{7}\)

Умножим на \(\sqrt{7}\):

\(3\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + 8\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{14} + 8 \cdot 7 = 3\sqrt{14} + 56\)

Вычитаем \(3\sqrt{14}\):

\(3\sqrt{14} + 56 — 3\sqrt{14} = 56\)

3) Раскроем произведение \((2 — \sqrt{3} + \sqrt{6})(2 + \sqrt{3} — \sqrt{6})\):

Перепишем как \((2 — (\sqrt{3} — \sqrt{6}))(2 + (\sqrt{3} — \sqrt{6}))\)

Используем формулу разности квадратов:

\(a^{2} — b^{2}\), где \(a = 2\), \(b = \sqrt{3} — \sqrt{6}\)

Вычислим:

\(2^{2} — (\sqrt{3} — \sqrt{6})^{2} = 4 — (3 — 2\sqrt{18} + 6) = 4 — 9 + 2\sqrt{18}\)

Упростим \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\):

\(4 — 9 + 2 \cdot 3\sqrt{2} = -5 + 6\sqrt{2}\)