ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 396 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и вернулась обратно через 2,5 ч, потратив на стоянку 25 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями — 20 км.

Пусть \( x \) км/ч — скорость течения. Скорость лодки по течению \( 20 + x \), против течения \( 20 — x \). Время движения по течению \( \frac{20}{20 + x} \), против течения \( \frac{20}{20 — x} \). Время стоянки \( \frac{25}{60} = \frac{5}{12} \) часов. Общее время \( 2,5 \) часа, значит время в движении \( 2,5 — \frac{5}{12} = \frac{25}{12} \).

Составляем уравнение: \( \frac{20}{20 + x} + \frac{20}{20 — x} = \frac{25}{12} \). Приводим к общему знаменателю: \( \frac{800}{400 — x^{2}} = \frac{25}{12} \). Перемножаем: \( 9600 = 10000 — 25 x^{2} \). Решаем: \( 25 x^{2} = 400 \), \( x^{2} = 16 \), \( x = 4 \).

Ответ: скорость течения равна \( 4 \) км/ч.

Пусть \( x \) км/ч — скорость течения реки. Это значит, что если лодка движется по течению, её скорость увеличивается на величину \( x \), а если против течения — уменьшается на \( x \). Из условия известно, что скорость лодки в неподвижной воде равна 20 км/ч. Значит, при движении по течению её скорость будет \( 20 + x \) км/ч, а при движении против течения — \( 20 — x \) км/ч.

Длина пути в каждую сторону равна 20 км. Время, которое лодка тратит на движение по течению, можно найти как отношение расстояния к скорости, то есть \( \frac{20}{20 + x} \) часов. Аналогично, время движения против течения равно \( \frac{20}{20 — x} \) часов. В задаче также указано, что лодка стояла на месте 25 минут, что в часах равно \( \frac{25}{60} = \frac{5}{12} \) часа. Общее время, затраченное на весь путь с учётом стоянки, равно 2,5 часа. Следовательно, время в движении без учёта стоянки равно \( 2,5 — \frac{5}{12} \). Приведём это к общему знаменателю: \( 2,5 = \frac{30}{12} \), значит время движения равно \( \frac{30}{12} — \frac{5}{12} = \frac{25}{12} \) часов.

Теперь составим уравнение для времени движения: сумма времени по течению и против течения равна \( \frac{25}{12} \), то есть \( \frac{20}{20 + x} + \frac{20}{20 — x} = \frac{25}{12} \). Чтобы решить это уравнение, приведём левую часть к общему знаменателю — произведению скоростей: \( (20 + x)(20 — x) = 400 — x^{2} \). Тогда числитель будет равен \( 20(20 — x) + 20(20 + x) \). Раскроем скобки: \( 20 \cdot 20 — 20x + 20 \cdot 20 + 20x = 400 — 20x + 400 + 20x \). Сокращая \( -20x \) и \( +20x \), получаем \( 800 \).

Таким образом, уравнение принимает вид \( \frac{800}{400 — x^{2}} = \frac{25}{12} \). Перемножим крест-накрест: \( 800 \cdot 12 = 25 (400 — x^{2}) \), что даёт \( 9600 = 10000 — 25 x^{2} \). Перенесём все члены с \( x^{2} \) в одну сторону: \( 25 x^{2} = 10000 — 9600 = 400 \). Разделим на 25: \( x^{2} = \frac{400}{25} = 16 \). Берём квадратный корень: \( x = 4 \) (отрицательный корень не подходит, так как скорость течения не может быть отрицательной).

Ответ: скорость течения реки равна \( 4 \) км/ч.