ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 397 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через одну из двух труб бак можно наполнить водой на 10 мин быстрее, чем через другую. За какое время можно заполнить этот бак через каждую из труб, если при одновременной их работе в течение 8 мин будет заполнено \(\frac{2}{3}\) бака?

Пусть \(x\) минут требуется первой трубе, тогда второй — \(x + 10\).

Из условия: \(8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} \right) = \frac{2}{3}\).

Упростим: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} = \frac{1}{12}\).

Общий знаменатель: \(\frac{x+10 + x}{x(x+10)} = \frac{1}{12}\).

Получаем уравнение: \(12(2x + 10) = x^2 + 10x\).

Раскроем скобки: \(24x + 120 = x^2 + 10x\).

Переносим в одну сторону: \(x^2 + 10x — 24x — 120 = 0\), то есть \(x^2 — 14x — 120 = 0\).

Вычисляем дискриминант: \(D = 14^2 + 4 \cdot 120 = 196 + 480 = 676\).

Корни: \(x = \frac{14 \pm 26}{2}\).

Отрицательный корень не подходит, значит \(x = \frac{14 + 26}{2} = 20\).

Вторая труба: \(20 + 10 = 30\).

Ответ: 20 минут и 30 минут.

Пусть время, за которое первая труба наполняет бак полностью, равно \(x\) минутам. Это значит, что за одну минуту первая труба наполняет \(\frac{1}{x}\) часть бака. Аналогично, вторая труба наполняет бак за \(x + 10\) минут, значит её скорость наполнения равна \(\frac{1}{x+10}\) части бака за одну минуту. Мы обозначили переменную \(x\), чтобы выразить неизвестное время работы первой трубы, а для второй трубы учитываем, что она работает на 10 минут дольше.

Теперь рассмотрим, что происходит, когда обе трубы работают вместе. За 8 минут они заполняют \(\frac{2}{3}\) бака. Скорость наполнения обеих труб вместе — это сумма их скоростей. Значит, за 8 минут они наполнят бак на \(8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} \right)\). По условию это равно \(\frac{2}{3}\). Запишем уравнение:
\(8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} \right) = \frac{2}{3}\).

Далее упростим уравнение. Разделим обе части на 8, чтобы выразить сумму скоростей:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} = \frac{2}{3 \cdot 8} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\).

Теперь сложим две дроби слева. Чтобы сложить их, найдём общий знаменатель — это произведение \(x\) и \(x+10\). Тогда:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} = \frac{x+10}{x(x+10)} + \frac{x}{x(x+10)} = \frac{2x + 10}{x(x+10)}\).

Подставим это в уравнение:
\(\frac{2x + 10}{x(x+10)} = \frac{1}{12}\).

Чтобы избавиться от дробей, перемножим крест-накрест:
\(12 (2x + 10) = x (x + 10)\).

Раскроем скобки:
\(24x + 120 = x^2 + 10x\).

Перенесём все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:
\(x^2 + 10x — 24x — 120 = 0\),
что упрощается до
\(x^2 — 14x — 120 = 0\).

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант по формуле:
\(D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676\).

Корни уравнения:
\(x = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{14 \pm 26}{2}\).

Отрицательный корень \(x = \frac{14 — 26}{2} = -6\) не имеет смысла, так как время не может быть отрицательным. Значит, выбираем положительный корень:
\(x = \frac{14 + 26}{2} = 20\).

Это означает, что первая труба наполняет бак за 20 минут, а вторая — за \(20 + 10 = 30\) минут.