ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 399 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какие из чисел -2; 0; 1 являются решениями неравенства:

1) \(x^2 — x — 2 < 0\);

2) \(x^2 + x \geq 0\);

3) \(-3x^2 — x + 2 > 0\)?

1) \(x^2 — x — 2 < 0\)
\(y(-2) = 4 + 2 — 2 = 4\)
\(y(0) = 0 — 0 — 2 = -2\)
\(y(1) = 1 — 1 — 2 = -2\)
Ответ: \(0; 1\).

2) \(x^2 + x \geq 0\)
\(y(-2) = 4 — 2 = 2\)
\(y(0) = 0 + 0 = 0\)
\(y(1) = 1 + 1 = 2\)
Ответ: \(-2; 0; 1\).

3) \(-3x^2 — x + 2 > 0\)
\(y(-2) = -3 \cdot 4 + 2 + 2 = -8\)
\(y(0) = 0 — 0 + 2 = 2\)
\(y(1) = -3 — 1 + 2 = -2\)
Ответ: \(0\).

1) Рассмотрим неравенство \(x^2 — x — 2 < 0\). Это квадратное неравенство, где \(x^2\) — старшая степень, значит график функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Для решения нужно понять, при каких значениях \(x\) значение выражения будет меньше нуля. Найдём корни уравнения \(x^2 — x — 2 = 0\), чтобы определить интервалы. Решаем по формуле: \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}\), значит корни \(x = 2\) и \(x = -1\).

Парабола пересекает ось \(x\) в точках \(-1\) и \(2\). Между этими корнями функция принимает отрицательные значения, так как ветви направлены вверх. Значит, неравенство \(x^2 — x — 2 < 0\) верно для \(x \in (-1; 2)\).

Проверим значения в точках \(-2\), \(0\), \(1\). При \(x = -2\) значение функции \(y = (-2)^2 — (-2) — 2 = 4 + 2 — 2 = 4\), что больше нуля, значит \(-2\) не входит в решение. При \(x = 0\) \(y = 0 — 0 — 2 = -2\), меньше нуля, значит \(0\) входит в решение. При \(x = 1\) \(y = 1 — 1 — 2 = -2\), также меньше нуля, значит \(1\) входит в решение.

Ответ: \(0; 1\).

2) Рассмотрим неравенство \(x^2 + x \geq 0\). Это тоже квадратное выражение, которое можно представить как \(x(x + 1) \geq 0\). Здесь важно определить, когда произведение двух выражений неотрицательно.

Корни уравнения \(x(x + 1) = 0\) равны \(x = 0\) и \(x = -1\). На числовой оси эти точки делят её на три интервала: \((-\infty; -1)\), \((-1; 0)\), \((0; +\infty)\). Проверим знак произведения на каждом из них. Для \(x < -1\), например \(x = -2\), \(x\) отрицательно, \(x + 1\) отрицательно, произведение положительно. Для интервала \((-1; 0)\) возьмём \(x = -0.5\), тогда \(x\) отрицательно, \(x + 1\) положительно, произведение отрицательно. Для \(x > 0\), например \(x = 1\), оба множителя положительны, произведение положительно.

Значит, неравенство \(x^2 + x \geq 0\) верно при \(x \leq -1\) или \(x \geq 0\). Проверим значения в точках \(-2\), \(0\), \(1\). При \(x = -2\), \(y = 4 — 2 = 2 \geq 0\), значит \(-2\) подходит. При \(x = 0\), \(y = 0 + 0 = 0\), подходит. При \(x = 1\), \(y = 1 + 1 = 2 \geq 0\), подходит.

Ответ: \(-2; 0; 1\).

3) Рассмотрим неравенство \(-3x^2 — x + 2 > 0\). Это квадратное выражение с отрицательным коэффициентом при \(x^2\), значит парабола направлена вниз. Чтобы понять, где функция положительна, найдем корни уравнения \(-3x^2 — x + 2 = 0\).

Решим по формуле: \(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 — 4 \cdot (-3) \cdot 2}}{2 \cdot (-3)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{-6} = \frac{1 \pm 5}{-6}\). Корни: \(x = \frac{1 + 5}{-6} = -1\) и \(x = \frac{1 — 5}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}\).

Парабола направлена вниз, значит функция положительна между корнями \(-1\) и \(\frac{2}{3}\). Проверим значения в точках \(-2\), \(0\), \(1\). При \(x = -2\), \(y = -3 \cdot 4 — (-2) + 2 = -12 + 2 + 2 = -8\), меньше нуля, не подходит. При \(x = 0\), \(y = 0 — 0 + 2 = 2\), больше нуля, подходит. При \(x = 1\), \(y = -3 — 1 + 2 = -2\), меньше нуля, не подходит.

Ответ: \(0\).