ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 400 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 77 изображён график функции \(y = x^2 + 4x — 5\).

Найдите множество решений неравенства:

1) \(x^2 + 4x — 5 < 0\);

2) \(x^2 + 4x — 5 \leq 0\);

3) \(x^2 + 4x — 5 > 0\);

4) \(x^2 + 4x — 5 \geq 0\).

1) \(x^2 + 4x — 5 < 0\)

Решаем уравнение \(x^2 + 4x — 5 = 0\):

\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)

\(x_1 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 — 6}{2} = -5\)

\(x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\)

Ответ: \((-5; 1)\)

2) \(x^2 + 4x — 5 \leq 0\)

Ответ: \([-5; 1]\)

3) \(x^2 + 4x — 5 > 0\)

Ответ: \((- \infty; -5) \cup (1; + \infty)\)

4) \(x^2 + 4x — 5 \geq 0\)

Ответ: \((- \infty; -5] \cup [1; + \infty)\)

1) Рассмотрим неравенство \(x^2 + 4x — 5 < 0\). Для того чтобы решить это неравенство, сначала нужно найти корни квадратного уравнения \(x^2 + 4x — 5 = 0\), потому что знаки выражения на промежутках между корнями и вне их могут меняться. Для этого вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\). Получаем \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два разных вещественных корня.

Теперь найдём сами корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем значения:
\(x_1 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 — 6}{2} = -5\),
\(x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\).
Корни упорядочены: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 1\).

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный (равен 1), график функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, значения функции будут меньше нуля на промежутке между корнями, а вне этого интервала — больше нуля. Следовательно, решением неравенства \(x^2 + 4x — 5 < 0\) будет открытый интервал между корнями: \((-5; 1)\).

2) Для неравенства \(x^2 + 4x — 5 \leq 0\) ситуация похожа, но знак неравенства включает равенство. Значит, к промежутку, на котором функция отрицательна, нужно добавить точки, где функция равна нулю, то есть сами корни. Таким образом, решение будет отрезком, включающим концы: \([-5; 1]\).

3) Рассмотрим неравенство \(x^2 + 4x — 5 > 0\). Здесь нам нужно найти, где функция принимает положительные значения. Мы уже знаем, что парабола направлена вверх, а функция равна нулю в точках \(x = -5\) и \(x = 1\). Значит, функция положительна на промежутках вне корней: слева от \(-5\) и справа от \(1\). Эти интервалы не включают корни, так как знак строгий. Значит, решение: \((- \infty; -5) \cup (1; + \infty)\).

4) Для неравенства \(x^2 + 4x — 5 \geq 0\) знак включает равенство, следовательно, к интервалам с положительными значениями функции добавляем сами корни, где функция равна нулю. Тогда решение будет объединением двух отрезков: \((- \infty; -5] \cup [1; + \infty)\).