ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 401 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 78 изображён график функции \(y = -3x^2 — 6x\).

Найдите множество решений неравенства:

1) \(-3x^2 — 6x < 0\);

2) \(-3x^2 — 6x \leq 0\);

3) \(-3x^2 — 6x > 0\);

4) \(-3x^2 — 6x \geq 0\).

1) \(-3x^2 — 6x < 0\)
Решаем: \(-3x(x+2) < 0\)
Корни: \(x=0\), \(x=-2\)
Знак функции меняется в корнях, проверяем интервалы:
\(x < -2\) — функция отрицательна,
\(-2 < x < 0\) — функция положительна,
\(x > 0\) — функция отрицательна.
Ответ: \((- \infty; -2) \cup (0; +\infty)\).

2) \(-3x^2 — 6x \leq 0\)
Добавляем корни к решению:
Ответ: \((- \infty; -2] \cup [0; +\infty)\).

3) \(-3x^2 — 6x > 0\)
Функция положительна только на промежутке между корнями:
Ответ: \((-2; 0)\).

4) \(-3x^2 — 6x \geq 0\)
Добавляем корни к решению:
Ответ: \([-2; 0]\).

1) Рассмотрим неравенство \(-3x^2 — 6x < 0\). Сначала выделим общий множитель, чтобы упростить выражение. Заметим, что в каждом слагаемом есть множитель \(-3x\), поэтому можно записать неравенство как \(-3x(x + 2) < 0\). Это важно, так как теперь мы имеем произведение двух выражений, и нам нужно определить, когда оно отрицательно.

Чтобы понять, на каких значениях \(x\) произведение отрицательно, найдем корни уравнения \(-3x(x + 2) = 0\). Корни — это значения \(x\), при которых произведение равно нулю, то есть либо \(-3x = 0\), либо \(x + 2 = 0\). Отсюда получаем \(x = 0\) и \(x = -2\). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \((-\infty; -2)\), \((-2; 0)\) и \((0; +\infty)\).

Теперь проверим знак выражения \(-3x(x + 2)\) на каждом из этих интервалов. Для \(x < -2\), например \(x = -3\), подставим в выражение: \(-3 \times (-3) \times (-3 + 2) = -3 \times (-3) \times (-1) = -9\), что меньше нуля. Значит на интервале \((-\infty; -2)\) выражение отрицательно.

Для интервала \((-2; 0)\), возьмем \(x = -1\). Подставим: \(-3 \times (-1) \times (-1 + 2) = -3 \times (-1) \times 1 = 3\), что больше нуля. Значит на промежутке \((-2; 0)\) выражение положительно.

Для \(x > 0\), например \(x = 1\), подставим: \(-3 \times 1 \times (1 + 2) = -3 \times 1 \times 3 = -9\), что меньше нуля. Значит на интервале \((0; +\infty)\) выражение отрицательно.

Так как нам нужно найти, где выражение меньше нуля, то решением неравенства будут интервалы, где функция отрицательна: \((-\infty; -2) \cup (0; +\infty)\).

2) Теперь решим неравенство \(-3x^2 — 6x \leq 0\). Аналогично первому пункту, выделяем общий множитель: \(-3x(x + 2) \leq 0\). Корни остаются те же: \(x = -2\) и \(x = 0\). В отличие от первого случая, знак равенства включен, значит к решению добавляем сами корни, где выражение равно нулю.

Проверка знаков на интервалах не меняется: на \((-\infty; -2)\) и \((0; +\infty)\) выражение отрицательно, на \((-2; 0)\) положительно. Значит решение — все значения \(x\), где выражение меньше или равно нулю, то есть объединение интервалов \((-\infty; -2]\) и \([0; +\infty)\).

3) Рассмотрим неравенство \(-3x^2 — 6x > 0\) или \(-3x(x + 2) > 0\). Здесь нам нужно найти, где выражение положительно. Корни \(x = -2\) и \(x = 0\) не входят в решение, так как знак строго больше.

По проверке знаков, выражение положительно только на промежутке между корнями, где \(x \in (-2; 0)\). На остальных интервалах выражение отрицательно. Значит решение неравенства: \((-2; 0)\).

4) Для неравенства \(-3x^2 — 6x \geq 0\) или \(-3x(x + 2) \geq 0\) нам нужно найти, где выражение неотрицательно. Корни \(x = -2\) и \(x = 0\) включаем, так как знак равенства есть.

Проверка знаков показывает, что выражение положительно или равно нулю на замкнутом интервале \([-2; 0]\). Значит решение: \([-2; 0]\).