ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 404 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

404. Решите неравенство:
1) \(x^2 + 6x — 7 < 0\);
2) \(x^2 — 2x — 48 \geq 0\);
3) \(-x^2 — 6x — 5 > 0\);
4) \(-x^2 + 4x — 3 < 0\);
5) \(3x^2 — 7x + 4 \leq 0\);
6) \(2x^2 + 3x + 1 > 0\);
7) \(4x^2 — 12x \leq 0\);
8) \(4x^2 — 9 > 0\);
9) \(x^2 — 12x + 36 > 0\);
10) \(4x^2 — 12x + 9 \geq 0\);
11) \(x^2 + 4x + 4 < 0\);
12) \(49x^2 — 14x + 1 \leq 0\);
13) \(2x^2 — x + 3 > 0\);
14) \(3x^2 — 4x + 5 \leq 0\);
15) \(-4x^2 + 5x — 7 > 0\);
16) \(-2x^2 + 3x — 2 \leq 0\).

1) \(x^2 + 6x — 7 < 0\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\)
\(x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1\)
\((x + 7)(x — 1) < 0\)
Ответ: \((-7; 1)\).

2) \(x^2 — 2x — 48 \geq 0\)
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\)
\(x_1 = \frac{2 — 14}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{2 + 14}{2} = 8\)
\((x + 6)(x — 8) \geq 0\)
Ответ: \((-\infty; -6] \cup [8; +\infty)\).

3) \(-x^2 — 6x — 5 > 0\)
\(x^2 + 6x + 5 < 0\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\)
\(x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1\)
\((x + 5)(x + 1) < 0\)
Ответ: \((-5; -1)\).

4) \(-x^2 + 4x — 3 < 0\)
\(x^2 — 4x + 3 > 0\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\)
\(x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\)
\((x — 1)(x — 3) > 0\)
Ответ: \((-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).

5) \(3x^2 — 7x + 4 \leq 0\)
\(D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1\)
\(x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 3} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3}\)
\((x — 1)(x — \frac{4}{3}) \leq 0\)
Ответ: \(\left[1; \frac{4}{3}\right]\).

6) \(2x^2 + 3x + 1 > 0\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1\)
\(x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}\)
\((x + 1)(x + \frac{1}{2}) > 0\)
Ответ: \((-\infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{2}; +\infty\right)\).

7) \(4x^2 — 12x \leq 0\)
\(4x(x — 3) \leq 0\)
Ответ: \([0; 3]\).

8) \(4x^2 — 9 > 0\)
\((2x + 3)(2x — 3) > 0\)
Ответ: \((-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)\).

9) \(x^2 — 12x + 36 > 0\)
\((x — 6)^2 > 0\)
Ответ: \((-\infty; 6) \cup (6; +\infty)\).

10) \(4x^2 — 12x + 9 \geq 0\)
\((2x — 3)^2 \geq 0\)
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

11) \(x^2 + 4x + 4 < 0\)
\((x + 2)^2 < 0\)
Ответ: \(\emptyset\).

12) \(49x^2 — 14x + 1 \leq 0\)
\((7x — 1)^2 \leq 0\)
Ответ: \(\frac{1}{7}\)

13) \(2x^2 — x + 3 > 0\)
Дискриминант меньше нуля, парабола вверх
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

14) \(3x^2 — 4x + 5 \leq 0\)
Дискриминант меньше нуля, парабола вверх
Ответ: \(\emptyset\).

15) \(-4x^2 + 5x — 7 > 0\)
Переписать: \(4x^2 — 5x + 7 < 0\), дискриминант меньше нуля
Ответ: \(\emptyset\).

16) \(-2x^2 + 3x — 2 \leq 0\)
Переписать: \(2x^2 — 3x + 2 \geq 0\), дискриминант меньше нуля, парабола вверх
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

1) Решим неравенство \(x^2 + 6x — 7 < 0\). Найдём дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1\). Запишем неравенство как \((x + 7)(x — 1) < 0\). Подходящий интервал: \((-7; 1)\).

2) Решим неравенство \(x^2 — 2x — 48 \geq 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\). Корни: \(x_1 = \frac{2 — 14}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{2 + 14}{2} = 8\). Неравенство принимает вид \((x + 6)(x — 8) \geq 0\). Решение: \((-\infty; -6] \cup [8; +\infty)\).

3) Решим неравенство \(-x^2 — 6x — 5 > 0\). Перепишем: \(x^2 + 6x + 5 < 0\). Дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\). Корни: \(x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1\). Неравенство: \((x + 5)(x + 1) < 0\). Ответ: \((-5; -1)\).

4) Решим неравенство \(-x^2 + 4x — 3 < 0\). Перепишем: \(x^2 — 4x + 3 > 0\). Дискриминант: \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\). Корни: \(x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\). Неравенство: \((x — 1)(x — 3) > 0\). Ответ: \((-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).

5) Решим неравенство \(3x^2 — 7x + 4 \leq 0\). Дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1\). Корни: \(x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 3} = 1\), \(x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3}\). Неравенство: \((x — 1)(x — \frac{4}{3}) \leq 0\). Ответ: \(\left[1; \frac{4}{3}\right]\).

6) Решим неравенство \(2x^2 + 3x + 1 > 0\). Дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1\). Корни: \(x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1\), \(x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}\). Неравенство: \((x + 1)(x + \frac{1}{2}) > 0\). Ответ: \((-\infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{2}; +\infty\right)\).

7) Решим неравенство \(4x^2 — 12x \leq 0\). Вынесем общий множитель: \(4x(x — 3) \leq 0\). Корни: \(x = 0\), \(x = 3\). Ответ: \([0; 3]\).

8) Решим неравенство \(4x^2 — 9 > 0\). Разложим: \((2x + 3)(2x — 3) > 0\). Корни: \(x = -\frac{3}{2}\), \(x = \frac{3}{2}\). Ответ: \((-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)\).

9) Решим неравенство \(x^2 — 12x + 36 > 0\). Преобразуем: \((x — 6)^2 > 0\). Корень: \(x = 6\). Ответ: \((-\infty; 6) \cup (6; +\infty)\).

10) Решим неравенство \(4x^2 — 12x + 9 \geq 0\). Преобразуем: \((2x — 3)^2 \geq 0\). Квадрат любого числа неотрицателен. Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

11) Решим неравенство \(x^2 + 4x + 4 < 0\). Преобразуем: \((x + 2)^2 < 0\). Квадрат любого числа не может быть меньше нуля. Ответ: \(\emptyset\).

12)

1. Дано неравенство \( 49x^2 — 14x + 1 < 0 \). Наша цель — найти значения \( x \), при которых это неравенство выполняется.

2. Заметим, что выражение \( 49x^2 — 14x + 1 \) похоже на полный квадрат. Попробуем представить его в виде квадрата бинома.

3. Мы знаем, что \( (7x — 1)^2 = 49x^2 — 14x + 1 \). Проверим это: \( (7x)^2 = 49x^2 \), \( 2 \cdot 7x \cdot (-1) = -14x \), \( (-1)^2 = 1 \). Суммируя, получаем \( 49x^2 — 14x + 1 \), что совпадает с исходным выражением.

4. Таким образом, неравенство \( 49x^2 — 14x + 1 < 0 \) можно переписать как \( (7x — 1)^2 < 0 \).

5. Теперь проанализируем выражение \( (7x — 1)^2 \). Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть \( (7x — 1)^2 \geq 0 \) для всех значений \( x \).

6. Равенство \( (7x — 1)^2 = 0 \) достигается, когда \( 7x — 1 = 0 \), то есть при \( x = \frac{1}{7} \). В этой точке выражение равно нулю, но не меньше нуля.

7. Для всех остальных значений \( x \), отличных от \( \frac{1}{7} \), выражение \( (7x — 1)^2 \) будет положительным, то есть больше нуля.

8. Следовательно, неравенство \( (7x — 1)^2 < 0 \) требует, чтобы квадрат был отрицательным, что невозможно для действительных чисел.

9. Таким образом, не существует таких значений \( x \), при которых выполняется неравенство \( (7x — 1)^2 < 0 \).

10. Ответ: \( \emptyset \).

13) Решим неравенство \(2x^2 — x + 3 > 0\). Дискриминант отрицателен, ветви вверх, парабола выше оси абсцисс. Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

14) Решим неравенство \(3x^2 — 4x + 5 \leq 0\). Дискриминант отрицателен, ветви вверх, парабола выше оси абсцисс. Ответ: \(\emptyset\).

15) Решим неравенство \(-4x^2 + 5x — 7 > 0\). Перепишем: \(4x^2 — 5x + 7 < 0\), дискриминант отрицателен, ветви вверх, парабола выше оси абсцисс. Ответ: \(\emptyset\).

16) Решим неравенство \(-2x^2 + 3x — 2 \leq 0\). Перепишем: \(2x^2 — 3x + 2 \geq 0\), дискриминант отрицателен, ветви вверх, парабола выше оси абсцисс. Ответ: \((-\infty; +\infty)\).