ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 405 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x^2 + 4x + 3 > 0\);

2) \(x^2 — 3x + 2 \leq 0\);

3) \(-x^2 + 12x + 45 < 0\);

4) \(-3x^2 — 5x — 2 \geq 0\);

5) \(x^2 — 5x > 0\);

6) \(-25x^2 + 16 \leq 0\);

7) \(5x^2 — 3x + 1 \geq 0\);

8) \(-3x^2 + 6x — 4 > 0\);

9) \(\frac{1}{3}x^2 — 2x + 3 \leq 0\);

10) \(-x^2 + \frac{1}{3}x — \frac{1}{36} > 0\);

11) \(2x^2 — 2x + 0,5 < 0\).

1) \(x^{2} + 4x + 3 > 0\)
\(D = 16 — 12 = 4\)
\(x_{1} = \frac{-4 — 2}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\)
\((x + 3)(x + 1) > 0\)
\(x < -3\), \(x > -1\)
\((-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)\)

2) \(x^{2} — 3x + 2 \leq 0\)
\(D = 9 — 8 = 1\)
\(x_{1} = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\)
\((x — 1)(x — 2) \leq 0\)
\(1 \leq x \leq 2\)
\([1; 2]\)

3) \(-x^{2} + 12x + 45 < 0\)
\(x^{2} — 12x — 45 > 0\)
\(D = 144 + 180 = 324\)
\(x_{1} = \frac{12 — 18}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{12 + 18}{2} = 15\)
\((x + 3)(x — 15) > 0\)
\(x < -3\), \(x > 15\)
\((-\infty; -3) \cup (15; +\infty)\)

4) \(-3x^{2} — 5x — 2 \geq 0\)
\(3x^{2} + 5x + 2 \leq 0\)
\(D = 25 — 24 = 1\)
\(x_{1} = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 3} = -1\), \(x_{2} = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3}\)
\((x + 1)(x + \frac{2}{3}) \leq 0\)
\(-1 \leq x \leq -\frac{2}{3}\)
\([-1; -\frac{2}{3}]\)

5) \(x^{2} — 5x > 0\)
\(x(x — 5) > 0\)
\(x < 0\), \(x > 5\)
\((-\infty; 0) \cup (5; +\infty)\)

6) \(-25x^{2} + 16 \leq 0\)
\(25x^{2} — 16 \geq 0\)
\((5x + 4)(5x — 4) \geq 0\)
\(x \leq -0{,}8\), \(x \geq 0{,}8\)
\((-\infty; -0{,}8] \cup [0{,}8; +\infty)\)

7) \(5x^{2} — 3x + 1 \geq 0\)
\(D = 9 — 20 = -11 < 0\)
\((-\infty; +\infty)\)

8) \(-3x^{2} + 6x — 4 > 0\)
\(3x^{2} — 6x + 4 < 0\)
\(D = 36 — 48 = -12 < 0\)
\(\emptyset\)

9) \(\frac{1}{3}x^{2} — 2x + 3 \leq 0\)
\(x^{2} — 6x + 9 \leq 0\)
\((x — 3)^{2} \leq 0\)
\(x = 3\)
\(\{3\}\)

10) \(-x^{2} + \frac{1}{3}x — \frac{1}{36} > 0\)
\(36x^{2} — 12x + 1 < 0\)
\((6x — 1)^{2} < 0\)
\(\emptyset\)

11) \(2x^{2} — 2x + 0{,}5 < 0\)
\(4x^{2} — 4x + 1 < 0\)
\((2x — 1)^{2} < 0\)
\(\emptyset\)

1) Решим неравенство \(x^{2} + 4x + 3 > 0\). Найдём дискриминант: \(D = 16 — 12 = 4\). Корни: \(x_{1} = \frac{-4 — 2}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\). Представим выражение в виде: \((x + 3)(x + 1) > 0\). Анализируем знаки: произведение положительно, если оба множителя положительны (\(x > -1\)) или оба отрицательны (\(x < -3\)). Ответ: \((-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)\).

2) Решим неравенство \(x^{2} — 3x + 2 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 9 — 8 = 1\). Корни: \(x_{1} = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\). Представим выражение в виде: \((x — 1)(x — 2) \leq 0\). Произведение неположительно между корнями, включительно. Ответ: \([1; 2]\).

3) Неравенство \(-x^{2} + 12x + 45 < 0\) преобразуем: \(x^{2} — 12x — 45 > 0\). Дискриминант: \(D = 144 + 180 = 324\). Корни: \(x_{1} = \frac{12 — 18}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{12 + 18}{2} = 15\). Представим выражение: \((x + 3)(x — 15) > 0\). Произведение положительно при \(x < -3\) или \(x > 15\). Ответ: \((-\infty; -3) \cup (15; +\infty)\).

4) Неравенство \(-3x^{2} — 5x — 2 \geq 0\) преобразуем: \(3x^{2} + 5x + 2 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 25 — 24 = 1\). Корни: \(x_{1} = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 3} = -1\), \(x_{2} = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3}\). Представим выражение: \((x + 1)(x + \frac{2}{3}) \leq 0\). Произведение неположительно между корнями, включительно. Ответ: \([-1; -\frac{2}{3}]\).

5) Неравенство \(x^{2} — 5x > 0\) запишем как \(x(x — 5) > 0\). Произведение положительно при \(x < 0\) или \(x > 5\). Ответ: \((-\infty; 0) \cup (5; +\infty)\).

6) Неравенство \(-25x^{2} + 16 \leq 0\) преобразуем: \(25x^{2} — 16 \geq 0\). Разложим: \((5x + 4)(5x — 4) \geq 0\). Решаем: \(x \leq -0,8\) или \(x \geq 0,8\). Ответ: \((-\infty; -0,8] \cup [0,8; +\infty)\).

7) Неравенство \(5x^{2} — 3x + 1 \geq 0\). Дискриминант: \(D = 9 — 20 = -11 < 0\). Квадратный трёхчлен всегда положителен. Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

8) Неравенство \(-3x^{2} + 6x — 4 > 0\) преобразуем: \(3x^{2} — 6x + 4 < 0\). Дискриминант: \(D = 36 — 48 = -12 < 0\). Квадратный трёхчлен всегда положителен, значит, неравенство не имеет решений. Ответ: \(\emptyset\).

9) Неравенство \(\frac{1}{3}x^{2} — 2x + 3 \leq 0\) умножим на 3: \(x^{2} — 6x + 9 \leq 0\). Получаем: \((x — 3)^{2} \leq 0\). Решение: \(x = 3\). Ответ: \(\{3\}\).

10) Неравенство \(-x^{2} + \frac{1}{3}x — \frac{1}{36} > 0\) умножим на \(-36\): \(36x^{2} — 12x + 1 < 0\). Получаем: \((6x — 1)^{2} < 0\). Квадрат не может быть меньше нуля. Ответ: \(\emptyset\).

11) Неравенство \(2x^{2} — 2x + 0,5 < 0\) умножим на 4: \(4x^{2} — 4x + 1 < 0\). Получаем: \((2x — 1)^{2} < 0\). Квадрат не может быть меньше нуля. Ответ: \(\emptyset\).