ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 407 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \(x^2 > 1\);

2) \(x^2 < 3\);

3) \(-3x^2 \geq -12x\);

4) \(-2x^2 < -128\).

1) \(x^2 > 1\)
\(x^2 — 1 > 0\)
\((x + 1)(x — 1) > 0\)
\(x < -1,\, x > 1\)
\((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\)

2) \(x^2 < 3\)
\(x^2 — 3 < 0\)
\((x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) < 0\)
\(-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}\)
\((-\sqrt{3}; \sqrt{3})\)

3) \(-3x^2 \geq -12x\)
\(3x^2 — 12x \leq 0\)
\(3x(x — 4) \leq 0\)
\(0 \leq x \leq 4\)
\([0; 4]\)

4) \(-2x^2 < -128\)
\(2x^2 > 128\)
\(x^2 > 64\)
\((x + 8)(x — 8) > 0\)
\(x < -8,\, x > 8\)
\((-\infty; -8) \cup (8; +\infty)\)

1)
Рассмотрим неравенство \(x^2 > 1\). Это означает, что значения \(x^2\) должны быть больше единицы. Заметим, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, но чтобы он был больше единицы, \(x\) не может быть между -1 и 1. Перенесём 1 в левую часть: \(x^2 — 1 > 0\). Это стандартное квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: \(x^2 — 1 = (x + 1)(x — 1)\). Получаем: \((x + 1)(x — 1) > 0\).

Теперь определим, при каких значениях переменной произведение двух множителей будет больше нуля. Произведение двух чисел положительно, когда оба множителя положительны или оба отрицательны. Первый случай: оба множителя положительны, то есть \(x + 1 > 0\) и \(x — 1 > 0\). Решая каждое неравенство, получаем \(x > -1\) и \(x > 1\). Совместное выполнение этих условий даёт \(x > 1\). Второй случай: оба множителя отрицательны, то есть \(x + 1 < 0\) и \(x — 1 < 0\). Решая каждое неравенство, получаем \(x < -1\) и \(x < 1\). Совместное выполнение этих условий даёт \(x < -1\).

Следовательно, неравенство выполняется при \(x < -1\) или \(x > 1\). Ответ записывается в виде объединения двух промежутков: \((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\).

2)
Рассмотрим неравенство \(x^2 < 3\). Это означает, что значения квадрата переменной должны быть меньше трёх. Переносим 3 в левую часть: \(x^2 — 3 < 0\). Это квадратное неравенство, и его удобно решать, разложив на множители. Воспользуемся формулой разности квадратов: \(x^2 — 3 = (x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3})\). Получаем: \((x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) < 0\).

Теперь разберёмся, когда произведение двух множителей отрицательно. Это происходит, когда один множитель положителен, а другой отрицателен. Рассмотрим сначала случай, когда \(x + \sqrt{3} > 0\) и \(x — \sqrt{3} < 0\). Первое неравенство даёт \(x > -\sqrt{3}\), второе — \(x < \sqrt{3}\). Одновременно эти условия выполняются при \(-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}\). Второй случай, когда \(x + \sqrt{3} < 0\) и \(x — \sqrt{3} > 0\), невозможен, так как не существует значения \(x\), удовлетворяющего этим двум условиям одновременно.

Значит, все решения находятся на промежутке между \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\), не включая эти точки, так как при равенстве произведение будет равно нулю, а нам нужно строгое неравенство. Ответ: \((-\sqrt{3}; \sqrt{3})\).

3)
Рассмотрим неравенство \(-3x^2 \geq -12x\). Для удобства перенесём все члены в одну сторону: \(-3x^2 + 12x \geq 0\). Теперь вынесем общий множитель -3 за скобку: \(-3(x^2 — 4x) \geq 0\). Чтобы избавиться от минуса перед скобкой, умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: \(3(x^2 — 4x) \leq 0\). Раскроем скобки: \(3x^2 — 12x \leq 0\). Далее разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число): \(x^2 — 4x \leq 0\).

Рассмотрим это неравенство как произведение: \(x(x — 4) \leq 0\). Произведение двух множителей не превосходит нуля, когда один из них неотрицателен, а другой неположителен, или хотя бы один из них равен нулю. Найдём нули функции: \(x = 0\) и \(x = 4\). На числовой прямой отметим эти точки и рассмотрим интервалы: \(x < 0\), \(0 < x < 4\), \(x > 4\). Проверим знак выражения на каждом интервале. При \(x < 0\), оба множителя отрицательны, произведение положительно. При \(0 < x < 4\), первый множитель положителен, второй отрицателен — произведение отрицательно. При \(x > 4\), оба множителя положительны, произведение положительно. Но нам нужно, чтобы произведение было меньше или равно нулю, то есть рассматриваем промежуток от 0 до 4 включительно.

Итак, решение: \(0 \leq x \leq 4\), то есть \([0; 4]\).

4)
Рассмотрим неравенство \(-2x^2 < -128\). Перенесём все члены в одну часть: \(-2x^2 + 128 < 0\). Переносим 128 в правую часть: \(-2x^2 < -128\). Разделим обе части неравенства на -2, при этом знак неравенства меняется на противоположный: \(x^2 > 64\). Это квадратное неравенство, и его удобно решать через разложение на множители: \(x^2 — 64 > 0\), а \(x^2 — 64 = (x + 8)(x — 8)\). Получаем: \((x + 8)(x — 8) > 0\).

Произведение двух множителей больше нуля, когда оба множителя положительны или оба отрицательны. Первый случай: \(x + 8 > 0\) и \(x — 8 > 0\), то есть \(x > -8\) и \(x > 8\), совместно это даёт \(x > 8\). Второй случай: \(x + 8 < 0\) и \(x — 8 < 0\), то есть \(x < -8\) и \(x < 8\), совместно это даёт \(x < -8\).

Таким образом, неравенство выполняется при \(x < -8\) или \(x > 8\). Записываем ответ с помощью объединения промежутков: \((-\infty; -8) \cup (8; +\infty)\).