ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 408 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x(x+5) — 2 < 4x\);

2) \(11 — (x+1)^2 \leq x\);

3) \((2x+1)^2 — (x+1)(x-7) \leq 5\);

4) \(5x(x+4) — (2x-3)(2x+3) > 30\);

5) \((3x — 7)(x+2) — (x-4)(x+5) > 30\);

6) \(\frac{2x^2 — 1}{4} — \frac{3 — 4x}{6} + \frac{8x — 5}{8} \leq \frac{19}{24}\).

1) \(x^{2} + x — 2 < 0\), корни \(x = -2\) и \(x = 1\), ответ: \(-2 < x < 1\)

2) \(x^{2} + 3x — 10 \geq 0\), корни \(x = -5\) и \(x = 2\), вне корней, ответ: \((-\infty; -5] \cup [2; +\infty)\)

3) \(3x^{2} + 10x + 3 \leq 0\), корни \(x = -3\) и \(x = -\frac{1}{3}\), между корнями, ответ: \([-3; -\frac{1}{3}]\)

4) \(x^{2} + 20x — 21 > 0\), корни \(x = -21\) и \(x = 1\), вне корней, ответ: \((-\infty; -21) \cup (1; +\infty)\)

5) \(x^{2} — x — 12 > 0\), корни \(x = -3\) и \(x = 4\), вне корней, ответ: \((-\infty; -3) \cup (4; +\infty)\)

6) \(3x^{2} + 10x — 13 \leq 0\), корни \(x = -4\) и \(x = 1\), между корнями, ответ: \([-4; 1]\)

1)
Преобразуем неравенство: \(x(x+5) — 2 < 4x\)
Раскрываем скобки: \(x^{2} + 5x — 2 < 4x\)
Переносим все в одну часть: \(x^{2} + 5x — 2 — 4x < 0\)
Собираем подобные: \(x^{2} + x — 2 < 0\)
Решаем квадратное уравнение: \(x^{2} + x — 2 = 0\)
Находим дискриминант: \(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)
Находим корни: \(x_{1} = \frac{-1 — 3}{2} = -2\), \(x_{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)
Так как ветви вверх, знак «< 0» между корнями:
\(-2 < x < 1\)

2)
Преобразуем неравенство: \(11 — (x+1)^{2} \leq x\)
Раскрываем скобки: \(11 — (x^{2} + 2x + 1) \leq x\)
\(11 — x^{2} — 2x — 1 \leq x\)
\(10 — x^{2} — 2x \leq x\)
\(-x^{2} — 3x + 10 \leq 0\)
\(x^{2} + 3x — 10 \geq 0\)
Решаем квадратное уравнение: \(x^{2} + 3x — 10 = 0\)
\(D = 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\)
\(x_{1} = \frac{-3 — 7}{2} = -5\), \(x_{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2\)
Знак «больше или равно нулю» вне корней:
\((-\infty; -5] \cup [2; +\infty)\)

3)
Преобразуем неравенство: \((2x+1)^{2} — (x+1)(x-7) \leq 5\)
Раскрываем скобки: \((4x^{2} + 4x + 1) — (x^{2} — 6x — 7) \leq 5\)
\(4x^{2} + 4x + 1 — x^{2} + 6x + 7 \leq 5\)
\(3x^{2} + 10x + 8 \leq 5\)
\(3x^{2} + 10x + 3 \leq 0\)
Решаем квадратное уравнение: \(3x^{2} + 10x + 3 = 0\)
\(D = 10^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\)
\(x_{1} = \frac{-10 — 8}{6} = -3\), \(x_{2} = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}\)
Знак «меньше или равно нулю» между корнями:
\([-3; -\frac{1}{3}]\)

4)
Преобразуем неравенство: \(5x(x+4) — (2x-3)(2x+3) > 30\)
Раскрываем скобки: \(5x^{2} + 20x — (4x^{2} — 9) > 30\)
\(5x^{2} + 20x — 4x^{2} + 9 > 30\)
\(x^{2} + 20x + 9 > 30\)
\(x^{2} + 20x — 21 > 0\)
Решаем квадратное уравнение: \(x^{2} + 20x — 21 = 0\)
\(D = 20^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 400 + 84 = 484\)
\(x_{1} = \frac{-20 — 22}{2} = -21\), \(x_{2} = \frac{-20 + 22}{2} = 1\)
Знак «больше нуля» вне корней:
\((-\infty; -21) \cup (1; +\infty)\)

5)
Преобразуем неравенство: \((3x — 7)(x+2) — (x-4)(x+5) > 30\)
Раскрываем скобки: \(3x^{2} + 6x — 7x — 14 — (x^{2} + 5x — 4x — 20) > 30\)
\(3x^{2} + 6x — 7x — 14 — x^{2} — 5x + 4x + 20 > 30\)
\(2x^{2} — 2x + 6 > 30\)
\(2x^{2} — 2x — 24 > 0\)
\(x^{2} — x — 12 > 0\)
Решаем квадратное уравнение: \(x^{2} — x — 12 = 0\)
\(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)
\(x_{1} = \frac{1 — 7}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4\)
Знак «больше нуля» вне корней:
\((-\infty; -3) \cup (4; +\infty)\)

6)
Преобразуем неравенство: \(\frac{2x^{2} — 1}{4} — \frac{3 — 4x}{6} + \frac{8x — 5}{8} \leq \frac{19}{24}\)
Приведём к общему знаменателю 24:
\(\frac{6(2x^{2} — 1) — 4(3 — 4x) + 3(8x — 5)}{24} \leq \frac{19}{24}\)
\(6(2x^{2} — 1) = 12x^{2} — 6\)
\(-4(3 — 4x) = -12 + 16x\)
\(3(8x — 5) = 24x — 15\)
Складываем числители: \(12x^{2} — 6 — 12 + 16x + 24x — 15 = 12x^{2} + 40x — 33\)
\(\frac{12x^{2} + 40x — 33}{24} \leq \frac{19}{24}\)
\(12x^{2} + 40x — 33 \leq 19\)
\(12x^{2} + 40x — 52 \leq 0\)
\(3x^{2} + 10x — 13 \leq 0\)
Решаем квадратное уравнение: \(3x^{2} + 10x — 13 = 0\)
\(D = 10^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 100 + 156 = 256\)
\(x_{1} = \frac{-10 — 16}{6} = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3}\)
\(x_{2} = \frac{-10 + 16}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
Знак «меньше или равно нулю» между корнями:
\([-4; 1]\)