ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 409 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(2(x^2 + 2) \geq x(x + 5)\);

2) \(x — (x + 4)(x + 5) > -5\);

3) \((6x — 1)(6x + 1) — (12x — 5)(x + 2) < 7 — 3x\);

4) \(\frac{x — 1}{4} — \frac{2x — 3}{2} < \frac{x^2 + 3x}{8}\).

\(2(x^{2}+2)\geq x(x+5)\)
\(2x^{2}+4\geq x^{2}+5x\)
\(x^{2}-5x+4\geq0\)
\(D=25-16=9\)
\(x_{1}=\frac{5-3}{2}=1\), \(x_{2}=\frac{5+3}{2}=4\)
\((x-1)(x-4)\geq0\)
\(x\leq1\), \(x\geq4\)
\((-\infty;1]\cup[4;+\infty)\)

\(x-(x+4)(x+5)>-5\)
\(x-(x^{2}+9x+20)>-5\)
\(x-x^{2}-9x-20>-5\)
\(-x^{2}-8x-20>-5\)
\(-x^{2}-8x-15>0\)
\(x^{2}+8x+15<0\)
\(D=64-60=4\)
\(x_{1}=\frac{-8-2}{2}=-5\), \(x_{2}=\frac{-8+2}{2}=-3\)
\((x+5)(x+3)<0\)
\(-5<x<-3\)
\((-5;-3)\)

\((6x-1)(6x+1)-(12x-5)(x+2)<7-3x\)
\(36x^{2}-1-12x^{2}-24x+5x+10<7-3x\)
\(24x^{2}-19x+9<7-3x\)
\(24x^{2}-16x+2<0\)
\(12x^{2}-8x+1<0\)
\(D=64-48=16\)
\(x_{1}=\frac{8-4}{24}=\frac{1}{6}\), \(x_{2}=\frac{8+4}{24}=\frac{1}{2}\)
\((x-\frac{1}{6})(x-\frac{1}{2})<0\)
\(\frac{1}{6}<x<\frac{1}{2}\)
\((\frac{1}{6};\frac{1}{2})\)

\(\frac{x-1}{4}-\frac{2x-3}{2}<\frac{x^{2}+3x}{8}\)
\(2(x-1)-4(2x-3)<x^{2}+3x\)
\(2x-2-8x+12<x^{2}+3x\)
\(-6x+10<x^{2}+3x\)
\(x^{2}+9x-10>0\)
\(D=81+40=121\)
\(x_{1}=\frac{-9-11}{2}=-10\), \(x_{2}=\frac{-9+11}{2}=1\)
\((x+10)(x-1)>0\)
\(x<-10\), \(x>1\)
\((-\infty;-10)\cup(1;+\infty)\)

1.
Рассмотрим неравенство \(2(x^{2}+2)\geq x(x+5)\). Сначала раскроем скобки: \(2x^{2}+4\geq x^{2}+5x\). Переносим все слагаемые в одну сторону: \(2x^{2}+4-x^{2}-5x\geq0\). Приводим подобные: \(x^{2}-5x+4\geq0\). Это квадратное неравенство. Найдем дискриминант: \(D=25-16=9\). Корни уравнения: \(x_{1}=\frac{5-3}{2}=1\), \(x_{2}=\frac{5+3}{2}=4\). Поскольку при \(x^{2}\) стоит плюс, ветви параболы направлены вверх, значит неравенство выполняется при \(x\leq1\) или \(x\geq4\). Ответ: \((-\infty;1]\cup[4;+\infty)\).

2.
Преобразуем неравенство \(x-(x+4)(x+5)>-5\). Сначала раскроем скобки: \(x-((x+4)(x+5))>-5\). Перемножим: \(x-(x^{2}+5x+4x+20)>-5\), то есть \(x-(x^{2}+9x+20)>-5\). Раскроем скобки: \(x-x^{2}-9x-20>-5\), приведём подобные: \(-x^{2}-8x-20>-5\). Перенесем -5 влево: \(-x^{2}-8x-15>0\). Умножим обе части на -1 (знак неравенства меняется): \(x^{2}+8x+15<0\). Находим дискриминант: \(D=64-60=4\). Корни: \(x_{1}=\frac{-8-2}{2}=-5\), \(x_{2}=\frac{-8+2}{2}=-3\). Парабола ветви вверх, меньше нуля между корнями: \(-5<x<-3\). Ответ: \((-5;-3)\).

3.
Рассмотрим неравенство \((6x-1)(6x+1)-(12x-5)(x+2)<7-3x\). Сначала раскроем скобки: \(36x^{2}-1-(12x^{2}+24x-5x-10)<7-3x\). Упростим: \(36x^{2}-1-12x^{2}-24x+5x+10<7-3x\). Приведём подобные: \(24x^{2}-19x+9<7-3x\). Перенесём все влево: \(24x^{2}-19x+9-7+3x<0\), получаем \(24x^{2}-16x+2<0\). Разделим на 2: \(12x^{2}-8x+1<0\). Дискриминант: \(D=64-48=16\). Корни: \(x_{1}=\frac{8-4}{24}=\frac{1}{6}\), \(x_{2}=\frac{8+4}{24}=\frac{1}{2}\). Парабола ветви вверх, меньше нуля между корнями: \(\frac{1}{6}<x<\frac{1}{2}\). Ответ: \((\frac{1}{6};\frac{1}{2})\).

4.
Преобразуем неравенство \(\frac{x-1}{4}-\frac{2x-3}{2}<\frac{x^{2}+3x}{8}\). Приведём к общему знаменателю: \(\frac{2(x-1)-4(2x-3)}{8}<\frac{x^{2}+3x}{8}\). Раскроем скобки: \(2x-2-8x+12<x^{2}+3x\). Приведём подобные: \(-6x+10<x^{2}+3x\). Перенесём всё в одну сторону: \(-6x+10-x^{2}-3x<0\), то есть \(x^{2}+9x-10>0\). Дискриминант: \(D=81+40=121\). Корни: \(x_{1}=\frac{-9-11}{2}=-10\), \(x_{2}=\frac{-9+11}{2}=1\). Парабола ветви вверх, больше нуля вне корней: \(x<-10\) или \(x>1\). Ответ: \((-\infty;-10)\cup(1;+\infty)\).