ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 411 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\):

1) значения трёхчлена \(x^2 — 2x — 11\) меньше \(\frac{1}{4}\);

2) значения трёхчлена \(-3x^2 + 8x + 6\) не меньше \(-\frac{2}{3}\)?

1) \(x^{2} — 2x — 11 < \frac{1}{4}\)
\(4x^{2} — 8x — 44 < 1\)
\(4x^{2} — 8x — 45 < 0\)
\(D = 8^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 45 = 64 + 720 = 784\)
\(x_{1} = \frac{8 — 28}{2 \cdot 4} = -2{,}5\), \(x_{2} = \frac{8 + 28}{2 \cdot 4} = 4{,}5\)
\((x + 2{,}5)(x — 4{,}5) < 0\)
\(-2{,}5 < x < 4{,}5\)
\((-2{,}5; 4{,}5)\)

2) \(-3x^{2} + 8x + 6 \geq -\frac{2}{3}\)
\(9x^{2} — 24x — 18 \leq 2\)
\(9x^{2} — 24x — 20 \leq 0\)
\(D = 24^{2} + 4 \cdot 9 \cdot 20 = 576 + 720 = 1296\)
\(x_{1} = \frac{24 — 36}{2 \cdot 9} = -\frac{2}{3}\), \(x_{2} = \frac{24 + 36}{2 \cdot 9} = \frac{10}{3}\)
\((x + \frac{2}{3})(x — \frac{10}{3}) \leq 0\)
\(-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{10}{3}\)
\(\left[-\frac{2}{3}; \frac{10}{3}\right]\)

1)

Рассмотрим неравенство \(x^{2} — 2x — 11 < \frac{1}{4}\). Для удобства решения перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: \(x^{2} — 2x — 11 — \frac{1}{4} < 0\). Теперь приведём числа к общему знаменателю: \(-11\) запишем как \(-\frac{44}{4}\), тогда получим \(x^{2} — 2x — \frac{44}{4} — \frac{1}{4} < 0\), то есть \(x^{2} — 2x — \frac{45}{4} < 0\).

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на 4 (на положительное число, знак неравенства не изменится): \(4x^{2} — 8x — 45 < 0\). Теперь у нас квадратное неравенство в стандартном виде. Для его решения нужно найти корни соответствующего уравнения \(4x^{2} — 8x — 45 = 0\). Для этого вычисляем дискриминант: \(D = (-8)^{2} — 4 \cdot 4 \cdot (-45) = 64 + 720 = 784\). Находим корни: \(x_{1} = \frac{8 — \sqrt{784}}{2 \cdot 4} = \frac{8 — 28}{8} = -2{,}5\), \(x_{2} = \frac{8 + 28}{8} = \frac{36}{8} = 4{,}5\).

Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, ветви параболы направлены вверх, и выражение \(4x^{2} — 8x — 45\) меньше нуля между найденными корнями. Значит, решением исходного неравенства будет промежуток \(-2{,}5 < x < 4{,}5\). В ответе записываем: \((-2{,}5; 4{,}5)\).

2)

Рассмотрим неравенство \(-3x^{2} + 8x + 6 \geq -\frac{2}{3}\). Переносим всё в одну сторону: \(-3x^{2} + 8x + 6 + \frac{2}{3} \geq 0\). Приводим к общему знаменателю: \(6 = \frac{18}{3}\), тогда \(-3x^{2} + 8x + \frac{18}{3} + \frac{2}{3} \geq 0\), то есть \(-3x^{2} + 8x + \frac{20}{3} \geq 0\).

Умножаем обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби: \(-9x^{2} + 24x + 20 \geq 0\). Теперь удобно поменять все знаки (домножить на \(-1\)), не забывая изменить знак неравенства: \(9x^{2} — 24x — 20 \leq 0\). Теперь решаем квадратное неравенство: найдём корни уравнения \(9x^{2} — 24x — 20 = 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = (-24)^{2} — 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 576 + 720 = 1296\). Корни: \(x_{1} = \frac{24 — \sqrt{1296}}{2 \cdot 9} = \frac{24 — 36}{18} = -\frac{2}{3}\), \(x_{2} = \frac{24 + 36}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\).

Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положительный, парабола направлена вверх, и выражение \(9x^{2} — 24x — 20\) меньше или равно нулю между корнями. Таким образом, решением исходного неравенства будет промежуток \(-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{10}{3}\). В ответе записываем: \(\left[-\frac{2}{3}; \frac{10}{3}\right]\).