ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 412 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента значения функции \(y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9\) больше соответствующих значений функции \(y = 2x — 1\)?

Решим неравенство: \(-\frac{1}{2}x^{2} + \frac{3}{2}x + 9 > 2x — 1\)

Переносим всё в одну сторону: \(-\frac{1}{2}x^{2} + \frac{3}{2}x + 9 — 2x + 1 > 0\)

Приводим подобные: \(-\frac{1}{2}x^{2} — \frac{1}{2}x + 10 > 0\)

Умножаем на \(-2\) (меняем знак неравенства): \(x^{2} + x — 20 < 0\)

Находим корни: \(x^{2} + x — 20 = 0\)

Дискриминант: \(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 81\)

\(x_{1} = \frac{-1 — 9}{2} = -5\)

\(x_{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4\)

Неравенство: \((x + 5)(x — 4) < 0\)

Ответ: \((-5; 4)\)

Рассмотрим данное неравенство: \(-\frac{1}{2}x^{2} + \frac{3}{2}x + 9 > 2x — 1\). Для начала нужно собрать все слагаемые в одной части неравенства, чтобы привести его к стандартному виду квадратного неравенства. Переносим все члены из правой части в левую, не забывая при этом поменять знаки у тех, которые были в правой части: \(-\frac{1}{2}x^{2} + \frac{3}{2}x + 9 — 2x + 1 > 0\). Теперь приводим подобные слагаемые: отдельно считаем коэффициенты при \(x^{2}\), при \(x\) и свободный член. При \(x^{2}\) только один член: \(-\frac{1}{2}x^{2}\). При \(x\): \(\frac{3}{2}x — 2x = \frac{3}{2}x — \frac{4}{2}x = -\frac{1}{2}x\). Свободные члены: \(9 + 1 = 10\). Получаем: \(-\frac{1}{2}x^{2} — \frac{1}{2}x + 10 > 0\).

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на \(-2\). При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Получаем: \(-2 \cdot \left(-\frac{1}{2}x^{2} — \frac{1}{2}x + 10\right) < 0\). Раскрываем скобки: \(-2 \cdot -\frac{1}{2}x^{2} = x^{2}\), \(-2 \cdot -\frac{1}{2}x = x\), \(-2 \cdot 10 = -20\). В итоге неравенство принимает вид: \(x^{2} + x — 20 < 0\). Теперь у нас обычное квадратное неравенство. Решим квадратное уравнение \(x^{2} + x — 20 = 0\), чтобы найти точки, в которых выражение обращается в ноль. Находим дискриминант: \(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\). Извлекаем корень из дискриминанта: \(\sqrt{81} = 9\). Теперь считаем корни по формуле: \(x_{1} = \frac{-1 — 9}{2} = -5\), \(x_{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4\).

Теперь рассмотрим неравенство \(x^{2} + x — 20 < 0\). Это квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом при \(x^{2}\), то есть его график — парабола, ветви которой направлены вверх. Значения выражения будут меньше нуля между найденными корнями, а именно на интервале от меньшего корня к большему. Это значит, что неравенство выполняется для всех \(x\), лежащих между \(-5\) и \(4\), не включая сами эти точки, потому что в них выражение обращается в ноль, а нам нужно строгое неравенство. Таким образом, ответ записывается в виде интервала: \((-5; 4)\).

Промежуток решения можно изобразить на числовой прямой: точки \(-5\) и \(4\) отмечаем выколотыми, так как неравенство строгое, и закрашиваем область между ними. Это и есть множество всех решений исходного неравенства. Таким образом, окончательный ответ: \((-5; 4)\).