ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 413 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента значения функции \(y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9\) больше соответствующих значений функции \(y = 2x — 1\)?

Решим неравенство:
\(\frac{3}{2}x^{2} — 7x + 1 < -\frac{1}{2}x^{2} — 4\)
\(\frac{3}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x^{2} — 7x + 1 + 4 < 0\)
\(2x^{2} — 7x + 5 < 0\)
Находим дискриминант:
\(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9\)
\(x_{1} = \frac{7 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\)
\(x_{2} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2{,}5\)
\(2x^{2} — 7x + 5 < 0\) при \(1 < x < 2{,}5\)
Ответ: \((1;\ 2{,}5)\)

Рассмотрим неравенство \(\frac{3}{2}x^{2} — 7x + 1 < -\frac{1}{2}x^{2} — 4\). Для того чтобы решить это неравенство, сначала перенесём все выражения в одну часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства. Для этого к обеим частям неравенства прибавим \(\frac{1}{2}x^{2} + 4\), чтобы избавиться от отрицательных слагаемых справа. Получаем: \(\frac{3}{2}x^{2} — 7x + 1 + \frac{1}{2}x^{2} + 4 < 0\). Теперь приводим подобные члены: складываем коэффициенты при \(x^{2}\): \(\frac{3}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x^{2} = 2x^{2}\). Также складываем свободные члены: \(1 + 4 = 5\). Получаем новое неравенство: \(2x^{2} — 7x + 5 < 0\).

Теперь решим квадратное неравенство \(2x^{2} — 7x + 5 < 0\). Для этого сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(2x^{2} — 7x + 5 = 0\). Используем формулу дискриминанта: \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 5\). Подставляем значения: \(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9\). Теперь найдём корни по формуле: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем значения: \(x_{1} = \frac{7 — 3}{4} = 1\), \(x_{2} = \frac{7 + 3}{4} = 2{,}5\).

Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(2 > 0\)), ветви параболы направлены вверх. Значит, выражение \(2x^{2} — 7x + 5\) будет меньше нуля между найденными корнями. Это промежуток \(1 < x < 2{,}5\). Таким образом, решение исходного неравенства — это все значения \(x\), которые лежат между этими числами, но не включают сами корни, так как в неравенстве стоит строгое неравенство. Ответ: \((1;\ 2{,}5)\).