ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 414 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

1) \( x^2 + 5x \leq 0 \);

2) \( x^2 — 10 < 0 \);

3) \( 6x^2 + x — 2 \leq 0 \);

4) \(-\frac{1}{4} x^2 + x + 3 > 0 \).

1) \(x^{2} + 5x \leq 0\), \(x(x+5) \leq 0\), \(-5 \leq x \leq 0\), \(-5; -4; -3; -2; -1; 0\)

2) \(x^{2} — 10 < 0\), \(x^{2} < 10\), \(-\sqrt{10} < x < \sqrt{10}\), \(-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\)

3) \(6x^{2} + x — 2 \leq 0\), \(D = 1 + 48 = 49\), \(x_{1} = \frac{-1-7}{12} = -\frac{2}{3}\), \(x_{2} = \frac{-1+7}{12} = \frac{1}{2}\), \(-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}\), \(0\)

4) \(-\frac{1}{4}x^{2} + x + 3 > 0\), \(x^{2} — 4x — 12 < 0\), \(D = 16 + 48 = 64\), \(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 6\), \(-2 < x < 6\), \(-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\)

1) Решим неравенство \(x^{2} + 5x \leq 0\). Перенесём всё в одну часть: \(x^{2} + 5x \leq 0\). Вынесем \(x\) за скобку: \(x(x + 5) \leq 0\). Найдём нули функции: \(x = 0\) и \(x + 5 = 0\), значит \(x = -5\). Отметим точки на числовой прямой: \(-5\) и \(0\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, ветви параболы вверх, значит неравенство выполняется между корнями: \(-5 \leq x \leq 0\). Целые решения: \(-5; -4; -3; -2; -1; 0\).

2) Решим неравенство \(x^{2} — 10 < 0\). Перенесём \(10\) вправо: \(x^{2} < 10\). Извлекаем корень: \(-\sqrt{10} < x < \sqrt{10}\). \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\), значит целые значения: \(-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\).

3) Решим неравенство \(6x^{2} + x — 2 \leq 0\). Найдём корни квадратного уравнения. Дискриминант: \(D = 1^{2} — 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49\). Первый корень: \(x_{1} = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}\). Второй корень: \(x_{2} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, неравенство выполняется между корнями: \(-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}\). Целое значение только \(0\).

4) Решим неравенство \(-\frac{1}{4}x^{2} + x + 3 > 0\). Домножим обе части на \(-4\) (знак неравенства поменяется): \(x^{2} — 4x — 12 < 0\). Найдём корни: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\). Первый корень: \(x_{1} = \frac{4 — 8}{2} = -2\). Второй корень: \(x_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6\). Коэффициент при \(x^{2}\) положительный, значит неравенство выполняется между корнями: \(-2 < x < 6\). Целые значения: \(-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\).