ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 415 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство:

1) \( 20 — 8x — x^2 > 0 \);

2) \( 4x^2 — 15x — 4 < 0 \)?

1) \(20 — 8x — x^2 > 0\)

\(x^2 + 8x — 20 < 0\)

\(D = 8^2 + 4 \cdot 20 = 64 + 80 = 144\)

\(x_1 = \frac{-8 — 12}{2} = -10\), \(x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2\)

\((x + 10)(x — 2) < 0\)

\(-10 < x < 2\)

Ответ: 11

2) \(4x^2 — 15x — 4 < 0\)

\(D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289\)

\(x_1 = \frac{15 — 17}{8} = -0{,}25\), \(x_2 = \frac{15 + 17}{8} = 4\)

\((x + 0{,}25)(x — 4) < 0\)

\(-0{,}25 < x < 4\)

Ответ: 4

1) Начнём с преобразования неравенства \(20 — 8x — x^2 > 0\). Чтобы привести его к стандартному виду квадратного неравенства, перенесём все члены в одну сторону: \(-x^2 — 8x + 20 > 0\). Домножим обе части неравенства на \(-1\), не забывая поменять знак неравенства: \(x^2 + 8x — 20 < 0\). Теперь у нас стандартное квадратное неравенство, где коэффициент при \(x^2\) положителен, а значит, ветви параболы направлены вверх.

Выпишем коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = -20\). Найдём дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144\). Корни найдём по формуле: \(x_1 = \frac{-8 — \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 — 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10\), \(x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, выражение \(x^2 + 8x — 20\) будет меньше нуля между корнями, то есть для \(x\) из промежутка \(-10 < x < 2\).

Найдём все целые значения \(x\), которые удовлетворяют этому неравенству. Это числа: \(-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\). Посчитаем их количество: от \(-9\) до \(1\) включительно — всего 11 чисел. Таким образом, количество целых решений неравенства равно 11.

2) Рассмотрим неравенство \(4x^2 — 15x — 4 < 0\). Это квадратное неравенство, где коэффициенты: \(a = 4\), \(b = -15\), \(c = -4\). Сначала найдём дискриминант: \(D = (-15)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289\). Корни определяются по формуле: \(x_1 = \frac{15 — \sqrt{289}}{8} = \frac{15 — 17}{8} = \frac{-2}{8} = -0{,}25\), \(x_2 = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4\). Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, парабола направлена вверх, и выражение \(4x^2 — 15x — 4\) меньше нуля между корнями, то есть при \(x\) из промежутка \(-0{,}25 < x < 4\).

Теперь определим, какие целые числа попадают в этот промежуток. Это \(0, 1, 2, 3\), потому что \(-0{,}25 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4\), а число 4 уже не входит, так как неравенство строгое. Посчитаем количество целых решений: всего 4 числа. Значит, количество целых решений неравенства \(4x^2 — 15x — 4 < 0\) равно 4.

В обоих случаях мы подробно разобрали преобразование неравенств, вычисление дискриминанта, нахождение корней, анализ промежутка, в котором выражение принимает отрицательные значения, и определили количество целых решений, входящих в этот промежуток. Всё это позволило найти точные ответы: 11 и 4 для первого и второго неравенства соответственно.