ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 417 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) \( 1{,}5x^2 — 2x — 2 < 0 \);

2) \(-2x^2 — 15x — 25 \geq 0 \).

1) \(1{,}5x^{2} — 2x — 2 < 0\)

\(3x^{2} — 4x — 4 < 0\)

\(D = 16 + 48 = 64\)

\(x_{1} = \frac{4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\)

\(x_{2} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\)

\((x + \frac{2}{3})(x — 2) < 0\)

\(-\frac{2}{3} < x < 2\)

Ответ: 1.

2) \(-2x^{2} — 15x — 25 \geq 0\)

\(2x^{2} + 15x + 25 \leq 0\)

\(D = 225 — 200 = 25\)

\(x_{1} = \frac{-15 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5\)

\(x_{2} = \frac{-15 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2{,}5\)

\((x + 5)(x + 2{,}5) \leq 0\)

\(-5 \leq x \leq -2{,}5\)

Ответ: -3.

1) Рассмотрим неравенство \(1{,}5x^{2} — 2x — 2 < 0\). Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив обе части неравенства на 2. Получим: \(3x^{2} — 4x — 4 < 0\). Теперь это квадратное неравенство стандартного вида. Решим соответствующее квадратное уравнение \(3x^{2} — 4x — 4 = 0\), чтобы найти точки пересечения параболы с осью абсцисс. Для этого вычислим дискриминант: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\).

Теперь найдём корни уравнения по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -4\), \(c = -4\). Получаем: \(x_{1} = \frac{4 — 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\), \(x_{2} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\). Парабола открывается вверх, так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(a = 3 > 0\)), значит выражение \(3x^{2} — 4x — 4\) будет меньше нуля между найденными корнями.

Следовательно, решением неравенства является промежуток \(-\frac{2}{3} < x < 2\). Нас просят найти наибольшее целое значение \(x\), которое принадлежит этому промежутку. Из всех целых чисел, попадающих в этот интервал, наибольшее — это 1. Проверим: если \(x = 1\), то \(1{,}5 \cdot 1^{2} — 2 \cdot 1 — 2 = 1{,}5 — 2 — 2 = -2{,}5 < 0\), то есть неравенство выполняется.

Ответ: 1.

2) Данную задачу начнем с преобразования неравенства: \(-2x^{2} — 15x — 25 \geq 0\). Заметим, что коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный, поэтому для удобства умножим обе части неравенства на \(-1\), не забыв поменять знак неравенства на противоположный. Получим: \(2x^{2} + 15x + 25 \leq 0\). Теперь решим квадратное уравнение \(2x^{2} + 15x + 25 = 0\), чтобы найти границы интервала, на котором выражение не превышает нуля.

Вычисляем дискриминант: \(D = 15^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 — 200 = 25\). Находим корни по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 15\), \(c = 25\). Получаем: \(x_{1} = \frac{-15 — 5}{4} = \frac{-20}{4} = -5\), \(x_{2} = \frac{-15 + 5}{4} = \frac{-10}{4} = -2{,}5\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(a = 2 > 0\)), парабола направлена вверх, и выражение \(2x^{2} + 15x + 25\) принимает отрицательные значения между корнями, а на самих корнях равно нулю.

Значит, решением неравенства будет отрезок \(-5 \leq x \leq -2{,}5\). Требуется найти наибольшее целое \(x\), принадлежащее этому отрезку. Из целых чисел, попадающих в этот промежуток, наибольшее — это \(-3\). Проверяем: если \(x = -3\), то \(2 \cdot (-3)^{2} + 15 \cdot (-3) + 25 = 18 — 45 + 25 = -2 \leq 0\), неравенство выполняется.

Ответ: -3.