ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 419 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4} \);

2) \( y = \sqrt{2x^2 + 5x — 3} \);

3) \( y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x — 12}} \);

4) \( y = \frac{x + 2}{\sqrt{6x — 2x^2}} \).

1) \(-x^{2} + 3x + 4 \geq 0\)
\(x^{2} — 3x — 4 \leq 0\)
\(x_{1} = \frac{3 — 5}{2} = -1\), \(x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\)
\(-1 \leq x \leq 4\)
\(D(x) = [-1; 4]\)

2) \(2x^{2} + 5x — 3 \geq 0\)
\(x_{1} = \frac{-5 — 7}{4} = -3\), \(x_{2} = \frac{-5 + 7}{4} = 0{,}5\)
\(x \leq -3\) или \(x \geq 0{,}5\)
\(D(x) = (-\infty; -3] \cup [0{,}5; +\infty)\)

3) \(x^{2} + 4x — 12 > 0\)
\(x_{1} = \frac{-4 — 8}{2} = -6\), \(x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2\)
\(x < -6\) или \(x > 2\)
\(D(x) = (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)\)

4) \(6x — 2x^{2} > 0\)
\(2x(3 — x) > 0\)
\(0 < x < 3\)
\(D(x) = (0; 3)\)

1)
Рассмотрим неравенство \(-x^{2} + 3x + 4 \geq 0\). Для удобства перенесём все члены в одну сторону, чтобы коэффициент при \(x^{2}\) был положительным: \(x^{2} — 3x — 4 \leq 0\). Теперь решим соответствующее квадратное уравнение \(x^{2} — 3x — 4 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\). Корни уравнения: \(x_{1} = \frac{3 — 5}{2} = -1\), \(x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\).

Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) равен 1 и положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство \(x^{2} — 3x — 4 \leq 0\) выполняется на участке между корнями, включая сами корни, так как неравенство нестрогое. Значит, решение неравенства: \(-1 \leq x \leq 4\).

Ответ записываем в виде отрезка: \(D(x) = [-1; 4]\). Это значит, что все значения \(x\) от \(-1\) до \(4\) включительно удовлетворяют исходному неравенству.

2)
Рассмотрим неравенство \(2x^{2} + 5x — 3 \geq 0\). Найдём корни квадратного уравнения \(2x^{2} + 5x — 3 = 0\). Сначала вычислим дискриминант: \(D = 5^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\). Корни: \(x_{1} = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3\), \(x_{2} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5\).

Коэффициент при \(x^{2}\) равен 2, значит, ветви параболы направлены вверх. Для неравенства \(2x^{2} + 5x — 3 \geq 0\) берём промежутки, где выражение больше либо равно нулю, то есть вне корней, а также сами корни, так как неравенство нестрогое. Значит, решение: \(x \leq -3\) или \(x \geq 0{,}5\).

Записываем ответ в виде объединения промежутков: \(D(x) = (-\infty; -3] \cup [0{,}5; +\infty)\). Это все значения \(x\), которые либо меньше либо равны \(-3\), либо больше либо равны \(0{,}5\).

3)
Рассмотрим неравенство \(x^{2} + 4x — 12 > 0\). Решим квадратное уравнение \(x^{2} + 4x — 12 = 0\) для нахождения границ промежутков. Дискриминант: \(D = 4^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\). Корни: \(x_{1} = \frac{-4 — 8}{2} = -6\), \(x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2\).

Коэффициент при \(x^{2}\) равен 1, парабола направлена вверх. Неравенство строгое, поэтому решения ищем вне корней (так как в самих корнях выражение равно нулю, а нам нужно строго больше нуля). Значит, \(x < -6\) или \(x > 2\).

Ответ: \(D(x) = (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)\). Это все значения \(x\), которые меньше \(-6\) или больше \(2\).

4)
Рассмотрим неравенство \(6x — 2x^{2} > 0\). Приведём его к стандартному виду: \(-2x^{2} + 6x > 0\). Вынесем за скобки общий множитель: \(-2x^{2} + 6x = -2x(x — 3)\). Домножим обе части на \(-1\) (при этом меняем знак неравенства): \(2x(x — 3) < 0\).

Рассмотрим произведение \(2x(x — 3)\). Оно меньше нуля, когда множители разного знака. Первый множитель \(2x\) меняет знак при \(x = 0\), второй \(x — 3\) — при \(x = 3\). Построим числовую прямую, отметим точки \(x = 0\) и \(x = 3\), определим знаки на промежутках:
При \(x < 0\): оба множителя отрицательны, произведение положительно.
При \(0 < x < 3\): \(2x > 0\), \(x — 3 < 0\), произведение отрицательно.
При \(x > 3\): оба множителя положительны, произведение положительно.

Так как неравенство строгое, решение — промежуток \(0 < x < 3\).
Ответ: \(D(x) = (0; 3)\)