ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 420 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4} \);

2) \( y = \sqrt{2x^2 + 5x — 3} \);

3) \( y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x — 12}} \);

4) \( y = \frac{x + 2}{\sqrt{6x — 2x^2}} \).

1) \(2x^{2} — 9x — 18 \geq 0\)
\(D = 81 + 144 = 225\)
\(x_{1} = \frac{9 — 15}{2 \cdot 2} = -1{,}5\)
\(x_{2} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 2} = 6\)
\((x + 1{,}5)(x — 6) \geq 0\)
\(x \leq -1{,}5,\ x \geq 6\)
\(D(x) = (-\infty; -1{,}5] \cup [6; +\infty)\)

2) \(15 + 2x — x^{2} > 0\)
\(x^{2} — 2x — 15 < 0\)
\(D = 4 + 60 = 64\)
\(x_{1} = \frac{2 — 8}{2} = -3\)
\(x_{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5\)
\((x + 3)(x — 5) < 0\)
\(-3 < x < 5\)
\(D(x) = (-3; 5)\)

1) Чтобы выражение \(y = \sqrt{2x^{2} — 9x — 18}\) имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательно: \(2x^{2} — 9x — 18 \geq 0\).

Решим квадратное неравенство. Найдём корни уравнения \(2x^{2} — 9x — 18 = 0\):

Вычислим дискриминант: \(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225\).

Находим корни:
\(x_{1} = \frac{9 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1{,}5\)
\(x_{2} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6\)

Коэффициент при \(x^{2}\) положительный, значит ветви параболы вверх. Неравенство выполняется при \(x \leq -1{,}5\) или \(x \geq 6\).

\(D(x) = (-\infty; -1{,}5] \cup [6; +\infty)\)

2) Чтобы выражение \(y = \frac{1}{\sqrt{15 + 2x — x^{2}}}\) имело смысл, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: \(15 + 2x — x^{2} > 0\).

Преобразуем: \(-x^{2} + 2x + 15 > 0\), или \(x^{2} — 2x — 15 < 0\).

Решим квадратное уравнение \(x^{2} — 2x — 15 = 0\):

Дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\).

Находим корни:
\(x_{1} = \frac{2 — 8}{2} = -3\)
\(x_{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5\)

Коэффициент при \(x^{2}\) положительный, значит промежуток между корнями: \(-3 < x < 5\).

\(D(x) = (-3; 5)\)