ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 421 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Равносильны ли неравенства:

1) \( x^2 — 2x — 15 > 0 \) и \( x^2 — 2x — 15 \geq 0 \);

2) \( \frac{1}{x^2 — x — 20} < 0 \) и \( \frac{1}{x^2 — x — 20} \leq 0 \);

3) \( x^2 — 6x + 10 > 0 \) и \(-x^2 + x — 15 \leq 0 \);

4) \( x^2 + 2x + 3 < 0 \) и \(-2x^2 — 4 > 0 \)?

1) \(x^{2} — 2x — 15 > 0\), \(x^{2} — 2x — 15 \geq 0\)

\(D = (-2)^{2} + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 > 0\)

нет

2) \(\frac{1}{x^{2} — x — 20} < 0\), \(\frac{1}{x^{2} — x — 20} \leq 0\) \(D = (-1)^{2} + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81 > 0\)

да

3) \(x^{2} — 6x + 10 > 0\), \(-x^{2} + x — 1 \leq 0\)

\(D = (-6)^{2} — 4 \cdot 10 = 36 — 40 = -4 < 0\)

\(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 < 0\)

да

4) \(x^{2} + 2x + 3 < 0\), \(-2x^{2} — 4 > 0\)

\(D = 2^{2} — 4 \cdot 3 = 4 — 12 = -8 < 0\)

\(D = 0^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 4 = -32 < 0\)

да

1) \(x^{2} — 2x — 15 > 0\), \(x^{2} — 2x — 15 \geq 0\)

Рассмотрим уравнение \(x^{2} — 2x — 15 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\). Корни: \(x_{1} = \frac{2 + 8}{2} = 5\), \(x_{2} = \frac{2 — 8}{2} = -3\).

Для \(x^{2} — 2x — 15 > 0\) решения: \(x < -3\) или \(x > 5\).

Для \(x^{2} — 2x — 15 \geq 0\) решения: \(x \leq -3\) или \(x \geq 5\).

Множества решений отличаются: в первом случае корни не входят, во втором входят.

нет

2) \(\frac{1}{x^{2} — x — 20} < 0\), \(\frac{1}{x^{2} — x — 20} \leq 0\)

Рассмотрим знаменатель: \(x^{2} — x — 20 = 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\). Корни: \(x_{1} = \frac{1 + 9}{2} = 5\), \(x_{2} = \frac{1 — 9}{2} = -4\).

Дробь меньше нуля, когда знаменатель отрицателен: \(x^{2} — x — 20 < 0\), то есть \( -4 < x < 5 \). Дробь не может быть равна нулю, потому что числитель всегда 1, а делить на ноль нельзя. Значит, множества решений совпадают. да 3) \(x^{2} — 6x + 10 > 0\), \(-x^{2} + x — 1 \leq 0\)

Для \(x^{2} — 6x + 10 > 0\) найдём дискриминант: \(D = (-6)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 — 40 = -4\). Дискриминант отрицателен, значит, парабола всегда выше оси, так как ветви вверх. Решение: все \(x\).

Для \(-x^{2} + x — 1 \leq 0\) преобразуем: \(-x^{2} + x — 1 \leq 0 \Rightarrow x^{2} — x + 1 \geq 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3\). Дискриминант отрицателен, ветви вверх, выражение всегда больше нуля. Значит, неравенство выполняется при всех \(x\).

Множества решений совпадают.

да

4) \(x^{2} + 2x + 3 < 0\), \(-2x^{2} — 4 > 0\)

Для \(x^{2} + 2x + 3 < 0\) найдём дискриминант: \(D = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8\). Дискриминант отрицателен, ветви вверх, выражение всегда больше нуля, значит, решений нет: \(\emptyset\). Для \(-2x^{2} — 4 > 0\) разделим на \(-2\): \(x^{2} + 2 < 0\). Дискриминант: \(0^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = -8\), всегда больше нуля, решений нет: \(\emptyset\).

Множества решений совпадают.

да