ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 422 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) не имеет корней уравнение:

1) \( x^2 — ax + 4 = 0 \);

2) \( x^2 + (a — 2)x + 25 = 0 \);

3) \( 4{,}5x^2 — (4a + 3)x + 3a = 0 \)?

1) \( D = a^2 — 16 < 0 \)
\( -4 < a < 4 \)
\((-4;\ 4)\)

2) \( D = (a-2)^2 — 100 < 0 \)
\( a^2 — 4a — 96 < 0 \)
\( -8 < a < 12 \)
\((-8;\ 12)\)

3) \( D = (4a+3)^2 — 4 \cdot 4{,}5 \cdot 3a < 0 \)
\( 16a^2 — 30a + 9 < 0 \)
\( a_1 = \frac{3}{8},\ a_2 = \frac{3}{2} \)
\( \frac{3}{8} < a < \frac{3}{2} \)
\(\left(\frac{3}{8};\ \frac{3}{2}\right)\)

1) Рассмотрим уравнение \( x^2 — a x + 4 = 0 \). Это квадратное уравнение, где коэффициенты: \( a_1 = 1 \), \( b_1 = -a \), \( c_1 = 4 \). Чтобы уравнение не имело действительных корней, его дискриминант должен быть меньше нуля. Дискриминант для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \). Подставляем значения: \( D = (-a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 \).

Выполняем вычисления: \( (-a)^2 = a^2 \), \( 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 \). Получаем \( D = a^2 — 16 \). Для отсутствия корней требуется \( a^2 — 16 < 0 \). Переносим 16 вправо: \( a^2 < 16 \). Теперь извлекаем корень из обеих частей неравенства: \( |a| < 4 \), что эквивалентно двойному неравенству \( -4 < a < 4 \).

Таким образом, все значения параметра \( a \), которые удовлетворяют этому неравенству, делают дискриминант отрицательным, а значит, уравнение не имеет действительных корней. Значит, ответ: \((-4;\ 4)\)

2) Рассмотрим уравнение \( x^2 + (a-2)x + 25 = 0 \). Здесь коэффициенты: \( a_2 = 1 \), \( b_2 = a-2 \), \( c_2 = 25 \). Дискриминант вычисляется по формуле \( D = (a-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 \). Сначала раскрываем скобки и перемножаем: \( (a-2)^2 = a^2 — 4a + 4 \), \( 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 \). Тогда \( D = a^2 — 4a + 4 — 100 \).

Упрощаем: \( D = a^2 — 4a — 96 \). Требуется, чтобы \( D < 0 \), то есть \( a^2 — 4a — 96 < 0 \). Решим это квадратное неравенство. Для этого сначала найдём корни соответствующего уравнения: \( a^2 — 4a — 96 = 0 \). По формуле корней: \( a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96)}}{2} \). Считаем подкоренное выражение: \( 16 + 384 = 400 \), значит \( a = \frac{4 \pm 20}{2} \).

Находим значения: \( a_1 = \frac{4 — 20}{2} = -8 \), \( a_2 = \frac{4 + 20}{2} = 12 \). Квадратное неравенство с положительным коэффициентом при \( a^2 \) выполняется между корнями: \( -8 < a < 12 \). Значит, ответ: \((-8;\ 12)\)

3) Рассмотрим уравнение \( 4{,}5x^2 — (4a+3)x + 3a = 0 \). Здесь \( a_3 = 4{,}5 \), \( b_3 = -(4a+3) \), \( c_3 = 3a \). Дискриминант равен \( D = (-(4a+3))^2 — 4 \cdot 4{,}5 \cdot 3a \). Посчитаем каждую часть: \( (-(4a+3))^2 = (4a+3)^2 = 16a^2 + 24a + 9 \), \( 4 \cdot 4{,}5 \cdot 3a = 54a \), значит \( D = 16a^2 + 24a + 9 — 54a \).

Упрощаем: \( D = 16a^2 — 30a + 9 \). Требуется, чтобы \( D < 0 \), то есть \( 16a^2 — 30a + 9 < 0 \). Решим это квадратное неравенство. Сначала находим корни уравнения: \( 16a^2 — 30a + 9 = 0 \). По формуле: \( a = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 9}}{32} \). Считаем подкоренное: \( 900 — 576 = 324 \), значит \( a = \frac{30 \pm 18}{32} \).

Вычисляем: \( a_1 = \frac{30 — 18}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} \), \( a_2 = \frac{30 + 18}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2} \). Квадратное неравенство выполняется между корнями: \( \frac{3}{8} < a < \frac{3}{2} \). Значит, ответ: \(\left(\frac{3}{8};\ \frac{3}{2}\right)\)