ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 423 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( b \) имеет два различных действительных корня уравнение:

1) \( x^2 — 8bx + 15b + 1 = 0 \);

2) \( 2x^2 + 2(b — 6)x + b — 2 = 0 \)?

Для уравнения \(x^2 — 8bx + 15b + 1 = 0\)
Дискриминант: \(D = (8b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (15b + 1) = 64b^2 — 60b — 4\)
\(64b^2 — 60b — 4 > 0\)
\(16b^2 — 15b — 1 > 0\)
\(D_1 = (-15)^2 — 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289\)
\(b_1 = \frac{15 — 17}{2 \cdot 16} = -\frac{1}{16}\), \(b_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 16} = 1\)
\((b + \frac{1}{16})(b — 1) > 0\)
\(b < -\frac{1}{16}\), \(b > 1\)
\((- \infty; -\frac{1}{16}) \cup (1; +\infty)\)

Для уравнения \(2x^2 + 2(b — 6)x + b — 2 = 0\)
Дискриминант: \(D = 4(b — 6)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (b — 2) = 4(b^2 — 12b + 36) — 8(b — 2)\)
\(= 4b^2 — 48b + 144 — 8b + 16 = 4b^2 — 56b + 160\)
\(b^2 — 14b + 40 > 0\)
\(D_2 = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 — 160 = 36\)
\(b_1 = \frac{14 — 6}{2} = 4\), \(b_2 = \frac{14 + 6}{2} = 10\)
\((b — 4)(b — 10) > 0\)
\(b < 4\), \(b > 10\)
\((- \infty; 4) \cup (10; +\infty)\)

1. Рассмотрим уравнение \(x^2 — 8bx + 15b + 1 = 0\). Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, дискриминант должен быть больше нуля: \(D > 0\).

Выпишем коэффициенты: \(a = 1\), \(b_1 = -8b\), \(c = 15b + 1\).

Запишем дискриминант: \(D = (-8b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (15b + 1)\).

Раскроем скобки: \(D = 64b^2 — 60b — 4\).

Разделим обе части неравенства на 4: \(16b^2 — 15b — 1 > 0\).

Найдём корни квадратного уравнения \(16b^2 — 15b — 1 = 0\):

Дискриминант: \(D_1 = (-15)^2 — 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289\).

Корни: \(b_1 = \frac{15 — 17}{2 \cdot 16} = -\frac{1}{16}\), \(b_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 16} = 1\).

Решаем неравенство: \((b + \frac{1}{16})(b — 1) > 0\).

Ответ: \(b < -\frac{1}{16}\) или \(b > 1\), то есть \( (-\infty; -\frac{1}{16}) \cup (1; +\infty) \).

2. Рассмотрим уравнение \(2x^2 + 2(b — 6)x + b — 2 = 0\). Для двух различных действительных корней дискриминант должен быть больше нуля: \(D > 0\).

Выпишем коэффициенты: \(a = 2\), \(b_1 = 2(b — 6)\), \(c = b — 2\).

Запишем дискриминант: \(D = [2(b — 6)]^2 — 4 \cdot 2 \cdot (b — 2)\).

Преобразуем: \(D = 4(b — 6)^2 — 8(b — 2)\).

Раскроем скобки: \(4(b^2 — 12b + 36) — 8b + 16 = 4b^2 — 48b + 144 — 8b + 16 = 4b^2 — 56b + 160\).

Разделим обе части неравенства на 4: \(b^2 — 14b + 40 > 0\).

Найдём корни квадратного уравнения \(b^2 — 14b + 40 = 0\):

Дискриминант: \(D_2 = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 — 160 = 36\).

Корни: \(b_1 = \frac{14 — 6}{2} = 4\), \(b_2 = \frac{14 + 6}{2} = 10\).

Решаем неравенство: \((b — 4)(b — 10) > 0\).

Ответ: \(b < 4\) или \(b > 10\), то есть \( (-\infty; 4) \cup (10; +\infty) \).