ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 424 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1) \(\begin{cases} x^2 — x — 6 \leq 0, \\ x > 0; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} 2x^2 — 11x — 6 \geq 0, \\ x + 4 \geq 0; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} x^2 — 9x — 10 \leq 0, \\ 6x — x^2 < 0; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x^2 — x — 12 \geq 0, \\ x^2 + 3x — 10 < 0. \end{cases}\)

1. Корни первого неравенства: \(x = -2\) и \(x = 3\), значит \(-2 \leq x \leq 3\). По второму \(x > 0\). Пересечение: \(0 < x \leq 3\). Ответ: (0;\ 3]

2. Корни: \(x = -\frac{1}{2}\) и \(x = 6\), значит \(x \leq -\frac{1}{2}\) или \(x \geq 6\). По второму \(x \geq -4\). Пересечение: \([-4;\ -0,5] \cup [6;\ +\infty)\).

3. Корни: \(x = -1\) и \(x = 10\), значит \(-1 \leq x \leq 10\). По второму \(x < 0\) или \(x > 6\). Пересечение: \([-1;\ 0) \cup (6;\ 10]\).

4. Корни: \(x = -5\) и \(x = -3\), значит \(x < -5\) или \(x > -3\). По второму \(x \leq -5\). Пересечение: \((-5;\ -3]\).

1. Решим неравенство \(x^{2} — x — 6 \leq 0\). Найдём корни: \(x^{2} — x — 6 = 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). Корни: \(x_{1} = \frac{1 — 5}{2} = -2\), \(x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\). Значит, \(x^{2} — x — 6 \leq 0\) при \(-2 \leq x \leq 3\).

Второе неравенство: \(x > 0\).

Объединяем: \(0 < x \leq 3\).

Ответ: (0;\ 3]

2. Решаем \(2x^{2} — 11x — 6 \geq 0\). Найдём корни: \(2x^{2} — 11x — 6 = 0\). Дискриминант: \(D = (-11)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169\). Корни: \(x_{1} = \frac{11 — 13}{4} = -\frac{1}{2}\), \(x_{2} = \frac{11 + 13}{4} = 6\). Так как ветви вверх, неравенство выполняется при \(x \leq -\frac{1}{2}\) или \(x \geq 6\).

Второе неравенство: \(x + 4 \geq 0\), то есть \(x \geq -4\).

Пересекаем: \(x \in [-4;\ -\frac{1}{2}] \cup [6;\ +\infty)\).

Ответ: [-4;\ -0,5] \cup [6;\ +\infty)

3. Решим \(x^{2} — 9x — 10 \leq 0\). Найдём корни: \(x^{2} — 9x — 10 = 0\). Дискриминант: \(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121\). Корни: \(x_{1} = \frac{9 — 11}{2} = -1\), \(x_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10\). Значит, \(x^{2} — 9x — 10 \leq 0\) при \(-1 \leq x \leq 10\).

Второе неравенство: \(6x — x^{2} < 0\). Переносим всё в одну сторону: \(-x^{2} + 6x < 0\), умножим на -1 (знак меняется): \(x^{2} — 6x > 0\), то есть \(x(x — 6) > 0\). Значит, \(x < 0\) или \(x > 6\).

Пересекаем: \(-1 \leq x < 0\) и \(6 < x \leq 10\).

Ответ: [-1;\ 0) \cup (6;\ 10]

4. Решим \(x^{2} + 8x + 15 > 0\). Найдём корни: \(x^{2} + 8x + 15 = 0\). Дискриминант: \(D = 8^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\). Корни: \(x_{1} = \frac{-8 — 2}{2} = -5\), \(x_{2} = \frac{-8 + 2}{2} = -3\). Ветви вверх, значит неравенство выполняется при \(x < -5\) или \(x > -3\).

Второе неравенство: \(2x + 10 \leq 0\), то есть \(x \leq -5\).

Пересекаем: \(x < -5\) и \(x \leq -5\), значит \(x < -5\).

Ответ: (-5;\ -3]