ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 426 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения системы неравенств:

1) \(\begin{cases} -2x^2 — 5x + 18 \geq 0, \\ x^2 + 4x — 5 \leq 0; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^2 — (\sqrt{5} — 3)x — 3\sqrt{5} \leq 0, \\ x^2 + x > 0. \end{cases}\)

1) \( -2x^{2} — 5x + 18 \geq 0 \)
\( x^{2} + 4x — 5 \leq 0 \)
Первое неравенство:
\( -2x^{2} — 5x + 18 \geq 0 \)
\( 2x^{2} + 5x — 18 \leq 0 \)
\( D = 5^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 \)
\( x_{1} = \frac{-5 — 13}{4} = -4{,}5 \), \( x_{2} = \frac{-5 + 13}{4} = 2 \)
\( -4{,}5 \leq x \leq 2 \)

Второе неравенство:
\( x^{2} + 4x — 5 \leq 0 \)
\( D = 16 + 20 = 36 \)
\( x_{1} = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \), \( x_{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \)
\( -5 \leq x \leq 1 \)

Общий промежуток: \( -4{,}5 \leq x \leq 2 \) и \( -5 \leq x \leq 1 \)
\( -4{,}5 \leq x \leq 1 \)
Целые: \( -4, -3, -2, -1, 0, 1 \)

2) \( x^{2} — (\sqrt{5} — 3)x — 3\sqrt{5} \leq 0 \)
\( x^{2} + x > 0 \)
Первое неравенство:
\( D = (\sqrt{5} — 3)^{2} + 4 \cdot 3\sqrt{5} = 5 — 6\sqrt{5} + 9 + 12\sqrt{5} = 14 + 6\sqrt{5} \)
Корни:
\( x_{1} = \frac{\sqrt{5} — 3 — (\sqrt{5} + 3)}{2} = -3 \)
\( x_{2} = \frac{\sqrt{5} — 3 + (\sqrt{5} + 3)}{2} = \sqrt{5} \)
\( -3 \leq x \leq \sqrt{5} \)

Второе неравенство:
\( x(x+1) > 0 \)
\( x < -1 \) или \( x > 0 \)

Общий промежуток: \( -3 \leq x < -1 \), \( 0 < x \leq \sqrt{5} \)
Целые: \( -3, -2, 1, 2 \)

1) Решаем систему:
\( -2x^{2} — 5x + 18 \geq 0 \)
\( x^{2} + 4x — 5 \leq 0 \)

Рассмотрим первое неравенство:
\( -2x^{2} — 5x + 18 \geq 0 \)
Умножим обе части на \(-1\), знак неравенства поменяется:
\( 2x^{2} + 5x — 18 \leq 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = 5^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 \)
Найдём корни:
\( x_{1} = \frac{-5 — 13}{4} = -\frac{18}{4} = -4{,}5 \)
\( x_{2} = \frac{-5 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
Парабола ветвями вверх, значит решение:
\( -4{,}5 \leq x \leq 2 \)

Рассмотрим второе неравенство:
\( x^{2} + 4x — 5 \leq 0 \)
\( D = 4^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)
Корни:
\( x_{1} = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \)
\( x_{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \)
Парабола ветвями вверх, значит решение:
\( -5 \leq x \leq 1 \)

Найдём пересечение промежутков:
\( -4{,}5 \leq x \leq 2 \)
\( -5 \leq x \leq 1 \)
Общий промежуток: \( -4{,}5 \leq x \leq 1 \)
Целые значения: \( -4, -3, -2, -1, 0, 1 \)

2) Решаем систему:
\( x^{2} — (\sqrt{5} — 3)x — 3\sqrt{5} \leq 0 \)
\( x^{2} + x > 0 \)

Первое неравенство:
Выпишем коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -(\sqrt{5} — 3) = 3 — \sqrt{5} \), \( c = -3\sqrt{5} \)
Вычислим дискриминант:
\( D = (3 — \sqrt{5})^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-3\sqrt{5}) \)
\( (3 — \sqrt{5})^{2} = 9 — 6\sqrt{5} + 5 = 14 — 6\sqrt{5} \)
\( D = 14 — 6\sqrt{5} + 12\sqrt{5} = 14 + 6\sqrt{5} \)
Корни:
\( x_{1} = \frac{-(3 — \sqrt{5}) — \sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{2} \)
\( x_{2} = \frac{-(3 — \sqrt{5}) + \sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{2} \)
Но по формуле Виета, если подставить, получим:
\( x_{1} = -3 \), \( x_{2} = \sqrt{5} \)
Значит, \( -3 \leq x \leq \sqrt{5} \)

Второе неравенство:
\( x^{2} + x > 0 \)
\( x(x + 1) > 0 \)
Решения: \( x < -1 \) или \( x > 0 \)

Пересекаем с первым неравенством:
\( -3 \leq x < -1 \)
\( 0 < x \leq \sqrt{5} \)
Целые значения: \( -3, -2, 1, 2 \)