ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 427 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(y = \sqrt{x^2 — 4x — 12} + \sqrt{x + 1};\)

2) \(y = \frac{x — 3}{\sqrt{18 + 3x — x^2}} + \frac{8}{x — 5};\)

3) \(y = \sqrt{x^2 — 5x — 14} — \frac{9}{x^2 — 81};\)

4) \(y = \frac{1}{\sqrt{6 — 7x — 3x^2}} + \sqrt{\frac{2}{x + 1}}.\)

\(x^{2} — 4x — 12 \geq 0,\, x+1 \geq 0\)
\(x_{1} = -2,\, x_{2} = 6\)
\((x+2)(x-6) \geq 0 \Rightarrow x \leq -2,\, x \geq 6\)
\(x \geq -1\)
\(x \geq 6\)
\(D(x) = (6; +\infty)\)

\(18 + 3x — x^{2} > 0,\, x \neq 5\)
\(x^{2} — 3x — 18 < 0\)
\(x_{1} = -3,\, x_{2} = 6\)
\(-3 < x < 6,\, x \neq 5\)
\(D(x) = (-3; 5) \cup (5; 6)\)

\(x^{2} — 5x — 14 \geq 0,\, x^{2} — 81 \neq 0\)
\(x_{1} = -2,\, x_{2} = 7\)
\((x+2)(x-7) \geq 0 \Rightarrow x \leq -2,\, x \geq 7\)
\(x \neq -9,\, x \neq 9\)
\(D(x) = (-\infty; -9) \cup (-9; -2] \cup [7; 9) \cup (9; +\infty)\)

\(6 — 7x — 3x^{2} > 0,\, x+1 > 0\)
\(3x^{2} + 7x — 6 < 0\)
\(x_{1} = -3,\, x_{2} = \frac{2}{3}\)
\(-3 < x < \frac{2}{3},\, x > -1\)
\(-1 < x < \frac{2}{3}\)
\(D(x) = (-1; \frac{2}{3})\)

1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: \(x^{2} — 4x — 12 \geq 0\) и \(x + 1 \geq 0\).

Решим неравенство \(x^{2} — 4x — 12 \geq 0\). Найдём корни: \(x^{2} — 4x — 12 = 0\). Дискриминант: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\). Корни: \(x_{1} = \frac{4 — 8}{2} = -2\), \(x_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6\).

Парабола направлена вверх, значит неравенство выполняется при \(x \leq -2\) или \(x \geq 6\).

Второе неравенство: \(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\).

Объединяем: \(x \leq -2\) и \(x \geq -1\) — нет общих значений; \(x \geq 6\) и \(x \geq -1\) — пересекаются при \(x \geq 6\).

\(D(x) = (6; +\infty)\)

2. В знаменателе и под корнем: \(18 + 3x — x^{2} > 0\), также \(x — 5 \neq 0\).

Решим неравенство \(18 + 3x — x^{2} > 0\). Перепишем: \(-x^{2} + 3x + 18 > 0\) или \(x^{2} — 3x — 18 < 0\).

Решим квадратное уравнение \(x^{2} — 3x — 18 = 0\). Дискриминант: \(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\). Корни: \(x_{1} = \frac{3 — 9}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6\).

Парабола направлена вверх, неравенство выполняется между корнями: \(-3 < x < 6\).

Также \(x — 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5\).

\(D(x) = (-3; 5) \cup (5; 6)\)

3. Подкоренное выражение и знаменатель: \(x^{2} — 5x — 14 \geq 0\), \(x^{2} — 81 \neq 0\).

Решим неравенство \(x^{2} — 5x — 14 \geq 0\). Найдём корни: \(x^{2} — 5x — 14 = 0\). Дискриминант: \(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\). Корни: \(x_{1} = \frac{5 — 9}{2} = -2\), \(x_{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7\).

Парабола направлена вверх, неравенство выполняется при \(x \leq -2\) или \(x \geq 7\).

Также \(x^{2} — 81 \neq 0 \Rightarrow x \neq 9,\, x \neq -9\).

\(D(x) = (-\infty; -9) \cup (-9; -2] \cup [7; 9) \cup (9; +\infty)\)

4. В знаменателе под корнем: \(6 — 7x — 3x^{2} > 0\), под корнем в числителе дроби: \(\frac{2}{x+1} \geq 0\).

\(6 — 7x — 3x^{2} > 0\), перенесём всё в одну сторону: \(3x^{2} + 7x — 6 < 0\).

Решим квадратное уравнение \(3x^{2} + 7x — 6 = 0\). Дискриминант: \(D = 7^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\). Корни: \(x_{1} = \frac{-7 — 11}{6} = -3\), \(x_{2} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Парабола направлена вверх, неравенство выполняется между корнями: \(-3 < x < \frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{x+1} \geq 0\). Числитель положителен, значит \(\frac{2}{x+1} \geq 0\) только при \(x+1 > 0\), то есть \(x > -1\).

Пересечение: \(-3 < x < \frac{2}{3}\) и \(x > -1\), значит \(-1 < x < \frac{2}{3}\).

\(D(x) = (-1; \frac{2}{3})\)