ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 428 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(y = \sqrt{20 + 4x — 3x^2} + \frac{3}{\sqrt{8 — 4x}};\)

2) \(y = \frac{x + 5}{\sqrt{35 + 2x — x^2}} + \frac{x — 1}{|x| — 6}.\)

1) \(20+4x-3x^{2} \geq 0\), \(8-4x>0\)

\(3x^{2}-4x-20 \leq 0\)

\(D=16+240=256\)

\(x_{1}=\frac{4-16}{6}=-2\), \(x_{2}=\frac{4+16}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\)

\(-2 \leq x \leq \frac{10}{3}\)

\(8-4x>0\), \(4x<8\), \(x<2\)

\(-2 \leq x < 2\)

\(D(x)=(-2;2)\)

2) \(35+2x-x^{2}>0\), \(|x|-6 \neq 0\)

\(x^{2}-2x-35<0\)

\(D=4+140=144\)

\(x_{1}=\frac{2-12}{2}=-5\), \(x_{2}=\frac{2+12}{2}=7\)

\(-5<x<7\), \(x \neq 6\)

\(D(x)=(-5;6) \cup (6;7)\)

1) Для того чтобы найти область определения функции \(y=\sqrt{20+4x-3x^{2}}+\frac{3}{\sqrt{8-4x}}\), необходимо определить, при каких значениях переменной \(x\) оба слагаемых имеют смысл. Корень квадратный определён только для неотрицательных выражений, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю и быть положительным, так как под корнем не может быть отрицательного числа. Поэтому для первого слагаемого должно выполняться неравенство \(20+4x-3x^{2} \geq 0\), а для второго — \(8-4x > 0\).

Рассмотрим сначала неравенство \(20+4x-3x^{2} \geq 0\). Перепишем его так: \(-3x^{2}+4x+20 \geq 0\). Чтобы упростить анализ, умножим обе части неравенства на \(-1\), при этом знак неравенства изменится на противоположный: \(3x^{2}-4x-20 \leq 0\). Теперь найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(3x^{2}-4x-20=0\). Для этого вычислим дискриминант: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256\). Находим корни: \(x_{1} = \frac{4-16}{6} = -2\), \(x_{2} = \frac{4+16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\). Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при \(x^{2}\) положительный), неравенство выполняется между корнями: \(-2 \leq x \leq \frac{10}{3}\).

Теперь рассмотрим второе неравенство \(8-4x > 0\). Перенесём \(4x\) вправо: \(8 > 4x\), разделим обе части на 4: \(2 > x\), то есть \(x < 2\). Теперь нужно найти пересечение двух промежутков: \(-2 \leq x \leq \frac{10}{3}\) и \(x < 2\). Пересечение этих промежутков — это значения \(x\), которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, то есть \(-2 \leq x < 2\). Таким образом, область определения функции: \(D(x)=(-2;2)\).

2) Для функции \(y=\frac{x+5}{\sqrt{35+2x-x^{2}}}+\frac{x-1}{|x|-6}\) область определения определяется тем, что выражение под корнем должно быть строго положительным (так как корень находится в знаменателе), а знаменатель второго слагаемого не должен обращаться в ноль. Значит, для первого слагаемого необходимо, чтобы \(35+2x-x^{2} > 0\), а для второго — \(|x|-6 \neq 0\).

Рассмотрим неравенство \(35+2x-x^{2} > 0\). Перепишем его в стандартном виде: \(-x^{2}+2x+35 > 0\). Умножим обе части на \(-1\) (меняя знак неравенства): \(x^{2}-2x-35 < 0\). Найдём корни уравнения \(x^{2}-2x-35=0\). Дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\). Корни: \(x_{1} = \frac{2-12}{2} = -5\), \(x_{2} = \frac{2+12}{2} = 7\). Парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: \(-5 < x < 7\).

Теперь рассмотрим условие \(|x|-6 \neq 0\). Это означает, что \(x \neq 6\) и \(x \neq -6\), так как модуль числа равен 6 только для этих двух значений. Осталось наложить это условие на уже найденный промежуток. Значение \(x = -6\) не входит в промежуток \(-5 < x < 7\), а вот \(x = 6\) входит. Поэтому из промежутка нужно исключить только точку \(x = 6\).

В итоге область определения функции: \(D(x)=(-5;6) \cup (6;7)\).