ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 429 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \(x^2 — 8|x| — 33 < 0;\)

2) \(8x^2 + 7|x| — 1 \geq 0.\)

1) \(x^{2} — 8|x| — 33 < 0\)

\(D = 8^{2} + 4 \cdot 33 = 64 + 132 = 196\)

\(|x|_{1} = \frac{8 — 14}{2} = -3\) и \(|x|_{2} = \frac{8 + 14}{2} = 11\)

\((|x| + 3)(|x| — 11) < 0\)

\(|x| — 11 < 0,\ |x| < 11\)

\(-11 < x < 11\)

\((-11;\ 11)\)

2) \(8x^{2} + 7|x| — 1 \geq 0\)

\(D = 7^{2} + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81\)

\(|x|_{1} = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 8} = -1\) и \(|x|_{2} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 8} = \frac{1}{8}\)

\((|x| + 1)\left(|x| — \frac{1}{8}\right) \geq 0\)

\(|x| \leq -1\) (не подходит), \(|x| \geq \frac{1}{8}\)

\(x \leq -\frac{1}{8}\) или \(x \geq \frac{1}{8}\)

\((-\infty;\ -\frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8};\ +\infty)\)

1) \(x^{2} — 8|x| — 33 < 0\)

Пусть \(y = |x|\), тогда неравенство примет вид: \(y^{2} — 8y — 33 < 0\).

Найдём корни квадратного уравнения: \(y^{2} — 8y — 33 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-8)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196\).

\(y_{1} = \frac{8 — 14}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

\(y_{2} = \frac{8 + 14}{2} = \frac{22}{2} = 11\)

Решаем неравенство: \((y + 3)(y — 11) < 0\).

Так как \(y = |x| \geq 0\), рассматриваем только значения \(0 \leq y < 11\).

Значит, \(|x| < 11\).

Ответ: \((-11;\ 11)\)

2) \(8x^{2} + 7|x| — 1 \geq 0\)

Пусть \(y = |x|\), тогда неравенство примет вид: \(8y^{2} + 7y — 1 \geq 0\).

Найдём корни квадратного уравнения: \(8y^{2} + 7y — 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = 7^{2} — 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81\).

\(y_{1} = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1\)

\(y_{2} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}\)

Решаем неравенство: \((y + 1)(y — \frac{1}{8}) \geq 0\).

Так как \(y = |x| \geq 0\), подходит только \(y \geq \frac{1}{8}\).

Значит, \(|x| \geq \frac{1}{8}\), то есть \(x \leq -\frac{1}{8}\) или \(x \geq \frac{1}{8}\).

Ответ: \((-\infty;\ -\frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8};\ +\infty)\)