ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 432 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x| \cdot (x^2 — 5x + 6) > 0;\)

2) \(\sqrt{x(x^2 + 6x — 40)} > 0;\)

3) \((x + 3)^2(x^2 — x — 6) > 0;\)

4) \(\frac{3x^2 — 8x — 3}{(x — 1)^2} \leq 0.\)

1) \(|x| > 0\) при \(x \neq 0\), \(x^{2} — 5x + 6 = (x-2)(x-3)\), произведение положительно при \(x < 2\) или \(x > 3\), исключая 0: \((-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (3; +\infty)\)

2) \(\sqrt{x(x^{2} + 6x — 40)} > 0\) при \(x > 4\), так как при \(x > 4\) подкоренное выражение положительно: \((4; +\infty)\)

3) \((x+3)^{2} > 0\) при \(x \neq -3\), \(x^{2} — x — 6 = (x-3)(x+2)\), положительно при \(x < -2\) или \(x > 3\), исключаем \(-3\): \((-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (3; +\infty)\)

4) \((x-1)^{2} > 0\) при \(x \neq 1\), \(3x^{2} — 8x — 3 \leq 0\) при \(-\frac{1}{3} \leq x \leq 3\), исключаем 1: \(\left[-\frac{1}{3}; 1\right) \cup (1; 3]\)

1) Неравенство \(|x| \cdot (x^{2} — 5x + 6) > 0\) требует, чтобы произведение двух множителей было строго положительным. Первый множитель \(|x|\) больше нуля при \(x \neq 0\), так как модуль любого числа, кроме нуля, всегда положителен. Второй множитель \(x^{2} — 5x + 6\) разлагается на множители: \(x^{2} — 5x + 6 = (x-2)(x-3)\). Произведение \((x-2)(x-3)\) положительно, когда оба множителя положительны (\(x > 3\)), либо оба отрицательны (\(x < 2\)). Однако в промежутке от 2 до 3 выражение отрицательно, а при \(x = 2\) или \(x = 3\) оно равно нулю.

Объединяя условия, получаем, что неравенство выполняется при \(x < 2\) или \(x > 3\), но также нужно исключить точку \(x = 0\), поскольку при \(x = 0\) произведение равно нулю. Таким образом, решением является объединение промежутков \((-\infty; 0)\), \((0; 2)\) и \((3; +\infty)\).

Итоговое множество решений: \((-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (3; +\infty)\).

2) В неравенстве \(\sqrt{x(x^{2} + 6x — 40)} > 0\) подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, поскольку корень определён только при неотрицательном подкоренном выражении, а знак неравенства требует положительности. Разложим многочлен: \(x^{2} + 6x — 40 = (x+10)(x-4)\), тогда подкоренное выражение становится \(x(x+10)(x-4)\).

Рассмотрим интервалы, где данное произведение положительно. Корни уравнения: \(x = 0\), \(x = -10\), \(x = 4\). Используя метод интервалов, отмечаем знаки на промежутках: при \(x < -10\) произведение отрицательно, при \(-10 < x < 0\) положительно, при \(0 < x < 4\) отрицательно, при \(x > 4\) положительно. Но подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, поэтому только \(x > 4\) подходит. Ответ: \((4; +\infty)\).

3) Неравенство \((x+3)^{2}(x^{2} — x — 6) > 0\) содержит квадрат множителя \((x+3)^{2}\), который всегда неотрицателен и равен нулю только при \(x = -3\). Следовательно, произведение положительно везде, где \(x \neq -3\) и второй множитель положителен. Разложим \(x^{2} — x — 6 = (x-3)(x+2)\). Произведение \((x-3)(x+2)\) положительно при \(x < -2\) или \(x > 3\).

Однако в точке \(x = -3\) выражение обращается в ноль, поэтому её исключаем. Ответ записывается как объединение трёх промежутков: \((-\infty; -3)\), \((-3; -2)\) и \((3; +\infty)\).

4) Неравенство \(\frac{3x^{2} — 8x — 3}{(x-1)^{2}} \leq 0\) требует анализа числителя и знаменателя. Знаменатель \((x-1)^{2}\) всегда положителен, кроме точки \(x = 1\), где выражение не определено. Неравенство будет выполняться, когда числитель не положителен: \(3x^{2} — 8x — 3 \leq 0\). Решим это квадратное неравенство: найдём корни по формуле: \(x_{1} = \frac{8 — 10}{6} = -\frac{1}{3}\), \(x_{2} = \frac{8 + 10}{6} = 3\).

Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутке между корнями: \(-\frac{1}{3} \leq x \leq 3\). Исключаем точку \(x = 1\), так как в ней знаменатель равен нулю. Итоговое решение: \(\left[-\frac{1}{3}; 1\right) \cup (1; 3]\).