ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 433 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x + 4)\sqrt{x^2 — 2x — 15} > 0\);

2) \((x + 4)\sqrt{x^2 — 2x — 15} \geq 0\);

3) \((x + 4)\sqrt{x^2 — 2x — 15} < 0\);

4) \((x + 4)\sqrt{x^2 — 2x — 15} \leq 0\).

1) \((x+4)\sqrt{x^{2}-2x-15}>0\): область определения \(x \leq -3\) или \(x \geq 5\), знак зависит от \(x+4\), поэтому ответ: \((-4; -3) \cup (5; +\infty)\).

2) \((x+4)\sqrt{x^{2}-2x-15} \geq 0\): добавляем точки, где выражение равно нулю (\(x=-4, -3, 5\)), поэтому ответ: \([-4; -3] \cup [5; +\infty)\).

3) \((x+4)\sqrt{x^{2}-2x-15}<0\): область определения и \(x+4<0\), ответ: \((-\infty; -4)\).

4) \((x+4)\sqrt{x^{2}-2x-15} \leq 0\): объединяем случай меньше нуля и равен нулю, ответ: \((-\infty; -4] \cup \{-3; 5\}\).

1) Решим неравенство \((x+4)\sqrt{x^{2}-2x-15}>0\). Сначала найдём область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то есть \(x^{2}-2x-15 \geq 0\). Решим: \(x^{2}-2x-15=0\). Найдём корни: \(x_{1}=5\), \(x_{2}=-3\). Значит, \(x \leq -3\) или \(x \geq 5\).

Теперь разберёмся со знаком выражения. Корень всегда неотрицателен, поэтому знак всего выражения зависит от \(x+4\). При \(x+4>0\) (то есть \(x>-4\)), выражение положительно, если подкоренное определено. Пересекаем: \(x \leq -3\) и \(x > -4\) — это \( -4 < x \leq -3 \); \(x \geq 5\) и \(x > -4\) — это \(x \geq 5\). Ответ: \((-4; -3) \cup (5; +\infty)\).

2) Решим неравенство \((x+4)\sqrt{x^{2}-2x-15} \geq 0\). Область определения та же: \(x \leq -3\) или \(x \geq 5\). Равенство возможно, если \(x+4=0\), то есть \(x=-4\), и подкоренное выражение определено: \((-4)^{2}-2\cdot(-4)-15=9>0\), значит, подходит. Также ноль получится при \(x=-3\) и \(x=5\), так как подкоренное равно нулю. Поэтому объединяем: \(x \leq -3\) и \(x \geq -4\) — это \([-4; -3]\); \(x \geq 5\) — это \([5; +\infty)\). Ответ: \([-4; -3] \cup [5; +\infty)\).

3) Решим неравенство \((x+4)\sqrt{x^{2}-2x-15}<0\). Корень положителен, а выражение отрицательно, когда \(x+4<0\), то есть \(x<-4\), и область определения: \(x \leq -3\) или \(x \geq 5\). Пересекаем: \(x \leq -3\) и \(x < -4\) — это \(x < -4\); \(x \geq 5\) и \(x < -4\) — решений нет. Ответ: \((-\infty; -4)\).

4) Решим неравенство \((x+4)\sqrt{x^{2}-2x-15} \leq 0\). Это объединение двух случаев: когда выражение меньше нуля (\(x < -4\), область определения \(x \leq -3\)), и когда оно равно нулю (\(x=-4\), \(x=-3\), \(x=5\)). Проверяем: \(x=-4\) подходит, \(x=-3\) и \(x=5\) подходят. Значит, ответ: \((-\infty; -4] \cup \{-3; 5\}\).