ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 434 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x — 3)\sqrt{14 + 5x — x^2} > 0\);

2) \((x — 3)\sqrt{14 + 5x — x^2} \geq 0\);

3) \((x — 3)\sqrt{14 + 5x — x^2} < 0\);

4) \((x — 3)\sqrt{14 + 5x — x^2} \leq 0\).

1) \(x-3>0\), \(14+5x-x^2>0\). Решим \(x^2-5x-14<0\): \(x_1=\frac{5-9}{2}=-2\), \(x_2=\frac{5+9}{2}=7\). Значит, \(-2<x<7\). Пересекаем с \(x>3\): \(3<x<7\).

2) \(x-3\geq0\), \(14+5x-x^2\geq0\). Решим \(x^2-5x-14\leq0\): \(x_1=-2\), \(x_2=7\), значит \(-2\leq x\leq7\). Пересекаем с \(x\geq3\): \(3\leq x\leq7\). Также подходит \(x=-2\).

Ответ: \(\{-2\}\cup[3;7]\)

3) \(x-3<0\), \(14+5x-x^2>0\). Решим \(x^2-5x-14<0\): \(-2<x<7\). Пересекаем с \(x<3\): \(-2<x<3\).

4) \(x-3\leq0\), \(14+5x-x^2\geq0\). Решим \(x^2-5x-14\leq0\): \(-2\leq x\leq 7\). Пересекаем с \(x\leq3\): \(-2\leq x\leq3\). Также подходит \(x=7\).

Ответ: \([-2;3]\cup\{7\}\)

1) Неравенство: \((x-3)\sqrt{14+5x-x^2}>0\).

Для существования корня под знаком радикала требуется \(14+5x-x^2>0\). Переносим всё в одну часть: \(-x^2+5x+14>0\), или \(x^2-5x-14<0\).

Находим корни квадратного уравнения: \(x^2-5x-14=0\). Дискриминант: \(D=25+56=81\). Корни: \(x_1=\frac{5-9}{2}=-2\), \(x_2=\frac{5+9}{2}=7\).

Значит, выражение под корнем положительно при \(-2<x<7\).

Также, чтобы произведение было больше нуля, нужно \(x-3>0\), то есть \(x>3\).

Итак, объединяя условия: \(3<x<7\).

2) Неравенство: \((x-3)\sqrt{14+5x-x^2}\geq0\).

Для существования корня под знаком радикала требуется \(14+5x-x^2\geq0\), то есть \(x^2-5x-14\leq0\).

Решение: \(-2\leq x\leq7\).

Чтобы всё выражение было неотрицательно, либо \(x-3>0\) и корень положителен (\(x>3\)), либо \(x-3=0\) и корень неотрицателен (\(x=3\)), либо \(\sqrt{14+5x-x^2}=0\) (то есть \(x=-2\) или \(x=7\)), при этом \(x-3\geq0\).

При \(x>3\): \(-2<x<7\), значит \(3<x<7\).

При \(x=3\): \(\sqrt{14+15-9}=\sqrt{20}>0\), подходит.

При \(x=-2\): \(x-3=-5<0\), но корень равен нулю, значит выражение равно нулю, подходит.

При \(x=7\): \(x-3=4>0\), корень равен нулю, значит выражение равно нулю, подходит.

Объединяя: \(\{-2\}\cup[3;7]\).

3) Неравенство: \((x-3)\sqrt{14+5x-x^2}<0\).

Для существования корня под знаком радикала требуется \(14+5x-x^2>0\), то есть \(-2<x<7\).

Чтобы выражение было отрицательным, нужно \(x-3<0\), то есть \(x<3\).

Объединяя: \(-2<x<3\).

4) Неравенство: \((x-3)\sqrt{14+5x-x^2}\leq0\).

Для существования корня под знаком радикала требуется \(14+5x-x^2\geq0\), то есть \(-2\leq x\leq7\).

Чтобы выражение было не больше нуля, либо \(x-3<0\) и корень положителен (\(x<3\)), либо \(x-3=0\) и корень неотрицателен (\(x=3\)), либо \(\sqrt{14+5x-x^2}=0\) (то есть \(x=-2\) или \(x=7\)), при этом \(x-3\leq0\).

При \(x<3\): \(-2<x<7\), значит \(-2<x<3\).

При \(x=3\): \(\sqrt{14+15-9}=\sqrt{20}>0\), подходит.

При \(x=-2\): \(x-3=-5<0\), корень равен нулю, значит выражение равно нулю, подходит.

При \(x=7\): \(x-3=4>0\), но неравенство строгое, не подходит.

Объединяя: \([-2;3]\cup\{7\}\)