ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 436 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) не имеет решений неравенство:
1) \(-x^2 + 6x — a > 0\);
2) \(x^2 — (a + 1)x + 3a — 5 < 0\);
3) \(ax^2 + (a — 1)x + (a — 1) < 0\)?

1) \( -x^{2} + 6x — a > 0 \)

\( x^{2} — 6x + a < 0 \)

\( D = 36 — 4a \leq 0 \)

\( 4a \geq 36 \)

\( a \geq 9 \)

\( [9; +\infty) \)

2) \( x^{2} — (a+1)x + 3a — 5 < 0 \)

\( D = (a+1)^{2} — 4(3a-5) \leq 0 \)

\( a^{2} + 2a + 1 — 12a + 20 \leq 0 \)

\( a^{2} — 10a + 21 \leq 0 \)

\( D = 100 — 84 = 16 \)

\( a_{1} = \frac{10-4}{2} = 3 \), \( a_{2} = \frac{10+4}{2} = 7 \)

\( (a-3)(a-7) \leq 0 \)

\( 3 \leq a \leq 7 \)

\( [3; 7] \)

3) \( ax^{2} + (a-1)x + (a-1) < 0 \)

\( D = (a-1)^{2} — 4a(a-1) \leq 0 \)

\( a^{2} — 2a + 1 — 4a^{2} + 4a \leq 0 \)

\( -3a^{2} + 2a + 1 \leq 0 \)

\( 3a^{2} — 2a — 1 \geq 0 \)

\( D = 4 + 12 = 16 \)

\( a_{1} = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3} \), \( a_{2} = \frac{2+4}{6} = 1 \)

\( a \leq -\frac{1}{3} \) или \( a \geq 1 \)

\( [1; +\infty) \)

1) Перепишем неравенство: \( -x^{2} + 6x — a > 0 \). Домножим обе части на \(-1\), меняя знак неравенства: \( x^{2} — 6x + a < 0 \).

Для того чтобы квадратный трёхчлен был всегда меньше нуля, его график должен лежать ниже оси \(Ox\), то есть дискриминант должен быть меньше либо равен нулю: \( D \leq 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = (-6)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot a = 36 — 4a \).

Запишем условие: \( 36 — 4a \leq 0 \).

Решаем: \( 36 \leq 4a \), \( a \geq 9 \).

Ответ: \( [9; +\infty) \)

2) Перепишем неравенство: \( x^{2} — (a+1)x + 3a — 5 < 0 \).

Для того чтобы квадратный трёхчлен был всегда меньше нуля, его дискриминант должен быть меньше либо равен нулю: \( D \leq 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = (a+1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (3a-5) \).

Раскроем скобки: \( D = a^{2} + 2a + 1 — 12a + 20 \).

Упростим: \( D = a^{2} — 10a + 21 \).

Запишем условие: \( a^{2} — 10a + 21 \leq 0 \).

Решим это неравенство. Найдём корни квадратного уравнения: \( a^{2} — 10a + 21 = 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = (-10)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 — 84 = 16 \).

Найдём корни: \( a_{1} = \frac{10 — 4}{2} = 3 \), \( a_{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7 \).

Так как ветви параболы вверх, неравенство выполняется между корнями: \( 3 \leq a \leq 7 \).

Ответ: \( [3; 7] \)

3) Перепишем неравенство: \( ax^{2} + (a-1)x + (a-1) < 0 \).

Для того чтобы квадратный трёхчлен был всегда меньше нуля, его дискриминант должен быть меньше либо равен нулю: \( D \leq 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = (a-1)^{2} — 4a(a-1) \).

Раскроем скобки: \( D = a^{2} — 2a + 1 — 4a^{2} + 4a \).

Упростим: \( D = -3a^{2} + 2a + 1 \).

Запишем условие: \( -3a^{2} + 2a + 1 \leq 0 \), или \( 3a^{2} — 2a — 1 \geq 0 \).

Решим это неравенство. Найдём корни квадратного уравнения: \( 3a^{2} — 2a — 1 = 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = (-2)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \).

Найдём корни: \( a_{1} = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{1}{3} \), \( a_{2} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \).

Так как ветви параболы вверх, неравенство выполняется при \( a \leq -\frac{1}{3} \) или \( a \geq 1 \).

Ответ: \( [1; +\infty) \)