ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 437 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите систему неравенств:
1) \(\begin{cases} x^2 — 5x + 4 > 0, \\ x > a; \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} 4x^2 — 3x — 1 \leq 0, \\ x < a. \end{cases}\)

1) Решим неравенство \( x^{2} — 5x + 4 > 0 \). Найдём корни: \( x^{2} — 5x + 4 = 0 \). По формуле дискриминанта: \( D = 25 — 16 = 9 \), \( x_{1} = \frac{5 — 3}{2} = 1 \), \( x_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \). Так как ветви вверх, \( x^{2} — 5x + 4 > 0 \) при \( x < 1 \) или \( x > 4 \).

Второе неравенство: \( x > a \).

Объединяем: если \( a < 1 \), то \( a < x < 1 \), \( x > 4 \). Если \( 1 \leq a \leq 4 \), то \( x > 4 \). Если \( a > 4 \), то \( x > a \).

2) Решим неравенство \( 4x^{2} — 3x — 1 \leq 0 \). Найдём корни: \( D = (-3)^{2} — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \), \( x_{1} = \frac{3 — 5}{8} = -\frac{1}{4} \), \( x_{2} = \frac{3 + 5}{8} = 1 \). Так как ветви вверх, \( 4x^{2} — 3x — 1 \leq 0 \) при \( -\frac{1}{4} \leq x \leq 1 \).

Второе неравенство: \( x < a \). Объединяем: если \( a \leq -\frac{1}{4} \), то \( \emptyset \). Если \( -\frac{1}{4} < a \leq 1 \), то \( -\frac{1}{4} \leq x < a \). Если \( a > 1 \), то \( -\frac{1}{4} \leq x \leq 1 \).

1) Рассмотрим неравенство \( x^{2} — 5x + 4 > 0 \). Это квадратное неравенство. Для начала найдём корни соответствующего уравнения \( x^{2} — 5x + 4 = 0 \). Для этого вычислим дискриминант: \( D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \). Корни уравнения находятся по формуле: \( x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2} \). Таким образом, \( x_{1} = \frac{5 — 3}{2} = 1 \), \( x_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \). Так как коэффициент при \( x^{2} \) положительный, ветви параболы направлены вверх, значит, выражение \( x^{2} — 5x + 4 > 0 \) выполняется при \( x < 1 \) или \( x > 4 \).

Второе неравенство — \( x > a \). Это означает, что нам подходят только те значения \( x \), которые больше \( a \). Необходимо найти пересечение решений двух неравенств: \( x < 1 \) или \( x > 4 \), и \( x > a \). Рассмотрим три случая для различных значений \( a \):

Если \( a < 1 \), то \( x > a \) сужает промежуток \( x < 1 \) до \( a < x < 1 \), а также остаётся промежуток \( x > 4 \), так как все \( x > 4 \) автоматически больше любого \( a < 1 \). Если \( 1 \leq a \leq 4 \), то \( x < 1 \) не даёт решений, так как \( x > a \geq 1 \) невозможно, остаётся только \( x > 4 \), ведь все такие \( x \) больше любого \( a \) из этого промежутка. Если \( a > 4 \), тогда \( x > a \) уже строже, чем \( x > 4 \), поэтому итоговый ответ — \( x > a \).

2) Теперь рассмотрим неравенство \( 4x^{2} — 3x — 1 \leq 0 \). Это тоже квадратное неравенство. Найдём его корни: дискриминант \( D = (-3)^{2} — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \). Корни: \( x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{8} \). Получаем \( x_{1} = \frac{3 — 5}{8} = -\frac{1}{4} \), \( x_{2} = \frac{3 + 5}{8} = 1 \). Коэффициент при \( x^{2} \) положительный, парабола направлена вверх, поэтому \( 4x^{2} — 3x — 1 \leq 0 \) выполняется на промежутке \( -\frac{1}{4} \leq x \leq 1 \).

Второе неравенство — \( x < a \). Значит, нам подходят только те значения \( x \), которые меньше \( a \). Нужно найти пересечение промежутка \( -\frac{1}{4} \leq x \leq 1 \) и \( x < a \). Если \( a \leq -\frac{1}{4} \), то нет таких \( x \), которые одновременно удовлетворяют обоим условиям, поэтому ответ — \( \emptyset \). Если \( -\frac{1}{4} < a \leq 1 \), то пересечение — это все \( x \) из промежутка \( -\frac{1}{4} \leq x < a \). Если \( a > 1 \), то все \( x \) из промежутка \( -\frac{1}{4} \leq x \leq 1 \) подходят, так как они все меньше \( a \).

В результате для первого неравенства с учётом всех случаев получаем: если \( a < 1 \), то \( a < x < 1 \), \( x > 4 \); если \( 1 \leq a \leq 4 \), то \( x > 4 \); если \( a > 4 \), то \( x > a \). Для второго неравенства: если \( a \leq -\frac{1}{4} \), то \( \emptyset \); если \( -\frac{1}{4} < a \leq 1 \), то \( -\frac{1}{4} \leq x < a \); если \( a > 1 \), то \( -\frac{1}{4} \leq x \leq 1 \).