ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 448 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} 2x + y = 10, \\ 4x — 7y = 2; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} 4y — x = 11, \\ 5x — 2y = 17; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} 2x — 9y = 11, \\ 7x + 9y = 25; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} 3x — 2y = 1, \\ 12x + 7y = -26. \end{cases}\)

1) \(2x + y = 10\)
\(4x — 7y = 2\)
\(y = 10 — 2x\)
\(4x — 7(10 — 2x) = 2\)
\(4x — 70 + 14x = 2\)
\(18x = 72\)
\(x = 4\)
\(y = 10 — 8 = 2\)
\((4;\ 2)\)

2) \(4y — x = 11\)
\(5x — 2y = 17\)
\(x = 4y — 11\)
\(5(4y — 11) — 2y = 17\)
\(20y — 55 — 2y = 17\)
\(18y = 72\)
\(y = 4\)
\(x = 16 — 11 = 5\)
\((5;\ 4)\)

3) \(2x — 9y = 11\)
\(7x + 9y = 25\)
\(2x — 9y + 7x + 9y = 11 + 25\)
\(9x = 36\)
\(x = 4\)
\(2 \cdot 4 — 9y = 11\)
\(8 — 9y = 11\)
\(-9y = 3\)
\(y = -\frac{1}{3}\)
\((4;\ -\frac{1}{3})\)

4) \(3x — 2y = 1\)
\(12x + 7y = -26\)
\(2y = 3x — 1\)
\(y = 1{,}5x — 0{,}5\)
\(12x + 7(1{,}5x — 0{,}5) = -26\)
\(12x + 10{,}5x — 3{,}5 = -26\)
\(22{,}5x = -22{,}5\)
\(x = -1\)
\(y = 1{,}5 \cdot (-1) — 0{,}5 = -2\)
\((-1;\ -2)\)

1)
Система уравнений: \(2x + y = 10\) и \(4x — 7y = 2\). Начнем решение с того, что выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = 10 — 2x\). Это значит, что мы можем заменить \(y\) во втором уравнении этим выражением, чтобы получить уравнение только с одной переменной \(x\).

Подставим выражение для \(y\) во второе уравнение: \(4x — 7(10 — 2x) = 2\). Раскроем скобки: \(4x — 70 + 14x = 2\). Теперь приведем подобные слагаемые: \(4x + 14x = 18x\), значит, \(18x — 70 = 2\). Перенесем \(-70\) в правую часть: \(18x = 72\). Далее, чтобы найти \(x\), разделим обе части на 18: \(x = \frac{72}{18} = 4\).

Теперь, когда найдено значение \(x\), подставим его в выражение для \(y\): \(y = 10 — 2x = 10 — 2 \cdot 4 = 10 — 8 = 2\). Таким образом, мы нашли оба значения переменных, которые удовлетворяют системе: \(x = 4\) и \(y = 2\). Запишем ответ как координаты точки: \((4;\ 2)\).

2)
Система: \(4y — x = 11\) и \(5x — 2y = 17\). Сначала выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения: \(4y — x = 11\), значит, \(x = 4y — 11\). Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \(5x — 2y = 17\). Получим: \(5(4y — 11) — 2y = 17\).

Раскроем скобки: \(20y — 55 — 2y = 17\). Теперь приведем подобные: \(20y — 2y = 18y\), то есть \(18y — 55 = 17\). Перенесем \(-55\) вправо: \(18y = 17 + 55 = 72\). Разделим обе части на 18: \(y = \frac{72}{18} = 4\).

Теперь найдем \(x\), подставив \(y = 4\) в выражение \(x = 4y — 11\): \(x = 4 \cdot 4 — 11 = 16 — 11 = 5\). Таким образом, решение системы — это точка с координатами \(x = 5\) и \(y = 4\), то есть \((5;\ 4)\).

3)
Система: \(2x — 9y = 11\) и \(7x + 9y = 25\). Обратим внимание, что если сложить эти два уравнения, то переменная \(y\) сократится, так как \(-9y + 9y = 0\). Складываем: \(2x — 9y + 7x + 9y = 11 + 25\), получаем \(9x = 36\).

Теперь делим обе части уравнения на 9: \(x = \frac{36}{9} = 4\). Подставим найденное значение \(x\) в первое уравнение системы для поиска \(y\): \(2 \cdot 4 — 9y = 11\), то есть \(8 — 9y = 11\). Перенесем 8 вправо: \(-9y = 11 — 8 = 3\).

Чтобы найти \(y\), разделим обе части на \(-9\): \(y = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}\). Ответом будет пара чисел: \(x = 4\) и \(y = -\frac{1}{3}\), или \((4;\ -\frac{1}{3})\).

4)
Система: \(3x — 2y = 1\) и \(12x + 7y = -26\). Начнем с выражения одной переменной через другую. Из первого уравнения выразим \(y\): \(3x — 2y = 1\) \(\Rightarrow\) \(2y = 3x — 1\) \(\Rightarrow\) \(y = \frac{3x — 1}{2}\). Для удобства запишем \(y = 1{,}5x — 0{,}5\).

Теперь подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение: \(12x + 7y = -26\), значит \(12x + 7(1{,}5x — 0{,}5) = -26\). Раскроем скобки: \(12x + 10{,}5x — 3{,}5 = -26\). Сложим подобные: \(12x + 10{,}5x = 22{,}5x\), значит \(22{,}5x — 3{,}5 = -26\).

Перенесем \(-3{,}5\) вправо: \(22{,}5x = -26 + 3{,}5 = -22{,}5\). Разделим обе части на \(22{,}5\): \(x = \frac{-22{,}5}{22{,}5} = -1\). Теперь подставим \(x = -1\) в выражение для \(y\): \(y = 1{,}5 \cdot (-1) — 0{,}5 = -1{,}5 — 0{,}5 = -2\). Ответ: \((-1;\ -2)\).