ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 449 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

1) \(\begin{cases}x+y=5, \\xy=6;\end{cases}\)

2)\(\begin{cases} y+x^2=3, \\y=x-1;\end{cases}\)

3)\(\begin{cases}x^2+y^2=4, \\x+y=2;\end{cases}\)

4) \(\begin{cases}x^2+y^2=25, \\xy=-12.\end{cases}\)

1) Решаем: из первого уравнения \(y = 5 — x\), подставляем во второе: \(x(5 — x) = 6\), получаем \(x^2 — 5x + 6 = 0\), отсюда \(x = 2\) или \(x = 3\), тогда \(y = 3\) или \(y = 2\). Ответ: \((2; 3),\ (3; 2)\).

2) Подставляем \(y = x — 1\) во второе: \(x — 1 + x^2 = 3\), \(x^2 + x — 4 = 0\), \(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}\). \(x_1 \approx 1{,}6\), \(x_2 \approx -2{,}6\). Тогда \(y_1 \approx 0{,}6\), \(y_2 \approx -3{,}6\). Ответ: \((-2{,}6;\ -3{,}6),\ (1{,}6;\ 0{,}6)\).

3) Из второго \(y = 2 — x\), подставляем в первое: \(x^2 + (2 — x)^2 = 4\), \(x^2 + 4 — 4x + x^2 = 4\), \(2x^2 — 4x = 0\), \(x(x — 2) = 0\), \(x = 0\) или \(x = 2\), \(y = 2\) или \(y = 0\). Ответ: \((0; 2),\ (2; 0)\).

4) \(x^2 + y^2 = 25\), \(xy = -12\). Решаем систему: \(y = \frac{-12}{x}\), подставляем: \(x^2 + \left(\frac{-12}{x}\right)^2 = 25\), \(x^2 + \frac{144}{x^2} = 25\), умножаем на \(x^2\): \(x^4 — 25x^2 + 144 = 0\), \(t^2 — 25t + 144 = 0\), \(t_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{25^2 — 4 \cdot 144}}{2} = \frac{25 \pm 17}{2}\), \(t_1 = 21\), \(t_2 = 4\). \(x^2 = 21\), \(x^2 = 4\), \(x = \pm \sqrt{21}\), \(x = \pm 2\). Соответственно \(y = \frac{-12}{x}\). Целые решения: \((-4; 3),\ (-3; 4),\ (3; -4),\ (4; -3)\).

1) Пусть \(x + y = 5\). Тогда \(y = 5 — x\). Подставим это во второе уравнение: \(x(5 — x) = 6\). Получим \(5x — x^2 = 6\), то есть \(x^2 — 5x + 6 = 0\). Найдём корни: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\). Тогда \(x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{5 — 1}{2} = 2\). Найдём \(y\): если \(x = 3\), то \(y = 2\); если \(x = 2\), то \(y = 3\). Ответ: \((2; 3),\ (3; 2)\).

2) Второе уравнение: \(y = x — 1\). Подставим во второе: \(x^2 + x — 1 = 3\), \(x^2 + x — 4 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17\). Тогда \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1{,}6\), \(x_2 = \frac{-1 — \sqrt{17}}{2} \approx -2{,}6\). \(y_1 = x_1 — 1 \approx 0{,}6\), \(y_2 = x_2 — 1 \approx -3{,}6\). Ответ: \((-2{,}6;\ -3{,}6),\ (1{,}6;\ 0{,}6)\).

3) Пусть \(x + y = 2\), тогда \(y = 2 — x\). Подставим во второе: \(x^2 + (2 — x)^2 = 4\). Раскроем скобки: \(x^2 + 4 — 4x + x^2 = 4\), \(2x^2 — 4x + 4 = 4\), \(2x^2 — 4x = 0\), \(x^2 — 2x = 0\), \(x(x — 2) = 0\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\). \(y_1 = 2\), \(y_2 = 0\). Ответ: \((0; 2),\ (2; 0)\).

4) Из второго уравнения: \(xy = -12\), выразим \(y = \frac{-12}{x}\). Подставим в первое: \(x^2 + \left(\frac{-12}{x}\right)^2 = 25\), \(x^2 + \frac{144}{x^2} = 25\). Умножим на \(x^2\): \(x^4 + 144 = 25x^2\), \(x^4 — 25x^2 + 144 = 0\). Обозначим \(t = x^2\): \(t^2 — 25t + 144 = 0\). Дискриминант: \(D = 25^2 — 4 \cdot 144 = 625 — 576 = 49\). \(t_1 = \frac{25 + 7}{2} = 16\), \(t_2 = \frac{25 — 7}{2} = 9\). Тогда \(x^2 = 16\) или \(x^2 = 9\), \(x = \pm 4\), \(x = \pm 3\). Найдём \(y\): если \(x = 4\), \(y = -3\); если \(x = -4\), \(y = 3\); если \(x = 3\), \(y = -4\); если \(x = -3\), \(y = 4\). Ответ: \((-4; 3),\ (-3; 4),\ (3; -4),\ (4; -3)\).