ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 452 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите методом подстановки систему уравнений:

1) \(\begin{cases}x-y=3, \\xy=28;\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}y^2-x=14, \\x-y=-2;\end{cases}\)

3) \(\begin{cases}y-2x^2=2, \\3x+y=1;\end{cases}\)

4) \(\begin{cases}x^2-2y^2=8, \\x+y=6.\end{cases}\)

1) Подставляем \(y = x-3\) во второе уравнение: \(x(x-3) = 28\), получаем \(x^2 — 3x — 28 = 0\), корни \(x_1 = -4\), \(x_2 = 7\), тогда \(y_1 = -7\), \(y_2 = 4\). Ответ: \((-4;\ -7)\), \((7;\ 4)\).

2) Подставляем \(y = x+2\) в первое уравнение: \((x+2)^2 — x = 14\), получаем \(x^2 + 3x — 10 = 0\), корни \(x_1 = -5\), \(x_2 = 2\), тогда \(y_1 = -3\), \(y_2 = 4\). Ответ: \((-5;\ -3)\), \((2;\ 4)\).

3) Подставляем \(y = 1-3x\) в первое уравнение: \(1-3x-2x^2=2\), получаем \(2x^2 + 3x + 1 = 0\), корни \(x_1 = -1\), \(x_2 = -0{,}5\), тогда \(y_1 = 4\), \(y_2 = 2{,}5\). Ответ: \((-1;\ 4)\), \((-0{,}5;\ 2{,}5)\).

4) Подставляем \(x = 6-y\) в первое уравнение: \((6-y)^2 — 2y^2 = 8\), получаем \(y^2 + 12y — 28 = 0\), корни \(y_1 = -14\), \(y_2 = 2\), тогда \(x_1 = 20\), \(x_2 = 4\). Ответ: \((20;\ -14)\), \((4;\ 2)\).

1)
Пусть \( x — y = 3 \).
Тогда \( y = x — 3 \).
Подставим \( y \) во второе уравнение: \( x y = 28 \).
Получаем \( x (x — 3) = 28 \).
Раскроем скобки: \( x^2 — 3x = 28 \).
Перенесём 28 влево: \( x^2 — 3x — 28 = 0 \).
Вычислим дискриминант: \( D = (-3)^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121 \).
Найдём корни: \( x_1 = \frac{3 — 11}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{3 + 11}{2} = 7 \).
Найдём \( y_1 = -4 — 3 = -7 \), \( y_2 = 7 — 3 = 4 \).
Ответ: \((-4;\ -7);\ (7;\ 4)\).

2)
Пусть \( x — y = -2 \).
Тогда \( y = x + 2 \).
Подставим \( y \) в первое уравнение: \( y^2 — x = 14 \).
Получаем \( (x + 2)^2 — x = 14 \).
Раскроем скобки: \( x^2 + 4x + 4 — x = 14 \).
Упростим: \( x^2 + 3x + 4 = 14 \).
\( x^2 + 3x + 4 — 14 = 0 \).
\( x^2 + 3x — 10 = 0 \).
Вычислим дискриминант: \( D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49 \).
Найдём корни: \( x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \), \( x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \).
\( y_1 = -5 + 2 = -3 \), \( y_2 = 2 + 2 = 4 \).
Ответ: \((-5;\ -3);\ (2;\ 4)\).

3)
Пусть \( 3x + y = 1 \).
Тогда \( y = 1 — 3x \).
Подставим \( y \) в первое уравнение: \( y — 2x^2 = 2 \).
Получаем \( 1 — 3x — 2x^2 = 2 \).
\( -3x — 2x^2 = 2 — 1 \).
\( -3x — 2x^2 = 1 \).
\( 2x^2 + 3x + 1 = 0 \).
Вычислим дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1 \).
Найдём корни: \( x_1 = \frac{-3 — 1}{4} = -1 \), \( x_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -0{,}5 \).
\( y_1 = 1 — 3 \cdot (-1) = 4 \), \( y_2 = 1 — 3 \cdot (-0{,}5) = 2{,}5 \).
Ответ: \((-1;\ 4);\ (-0{,}5;\ 2{,}5)\).

4)
Пусть \( x + y = 6 \).
Тогда \( x = 6 — y \).
Подставим \( x \) в первое уравнение: \( x^2 — 2y^2 = 8 \).
Получаем \( (6 — y)^2 — 2y^2 = 8 \).
Раскроем скобки: \( 36 — 12y + y^2 — 2y^2 = 8 \).
\( 36 — 12y — y^2 = 8 \).
\( 36 — 12y — y^2 — 8 = 0 \).
\( -y^2 — 12y + 28 = 0 \).
Умножим на -1: \( y^2 + 12y — 28 = 0 \).
Вычислим дискриминант: \( D = 12^2 + 4 \cdot 28 = 144 + 112 = 256 \).
Найдём корни: \( y_1 = \frac{-12 — 16}{2} = -14 \), \( y_2 = \frac{-12 + 16}{2} = 2 \).
\( x_1 = 6 — (-14) = 20 \), \( x_2 = 6 — 2 = 4 \).
Ответ: \((20;\ -14);\ (4;\ 2)\).