ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 453 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите методом подстановки систему уравнений:

1) \(\begin{cases}x-y=3, \\xy=28;\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}y^2-x=14, \\x-y=-2;\end{cases}\)

3) \(\begin{cases}y-2x^2=2, \\3x+y=1;\end{cases}\)

4) \(\begin{cases}x^2-2y^2=8, \\x+y=6.\end{cases}\)

1) \(x^2 + y^2 = 3\), \(y = x\)

Подставим \(y = x\) в первое уравнение:
\(x^2 + x^2 = 3\)
\(2x^2 = 3\)
\(x^2 = \frac{3}{2}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(y = x\)

Два решения.

2) \(x^2 + y^2 = 4\), \(y = 2 — x^2\)

Подставим \(y\) во второе уравнение:
\(x^2 + (2 — x^2)^2 = 4\)
\(x^2 + 4 — 4x^2 + x^4 = 4\)
\(x^4 — 3x^2 = 0\)
\(x^2(x^2 — 3) = 0\)
\(x^2 = 0\) или \(x^2 = 3\)
\(x = 0, y = 2\)
\(x = \sqrt{3}, y = 2 — 3 = -1\)
\(x = -\sqrt{3}, y = -1\)

Три решения.

3) \(y = \sqrt{x}\), \(x — y = 2\)

\(y = \sqrt{x}\)
\(x — \sqrt{x} = 2\)
Пусть \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^2\):

\(t^2 — t = 2\)
\(t^2 — t — 2 = 0\)
\(t = 2\) или \(t = -1\) (не подходит, так как \(t \geq 0\))

\(x = 4, y = 2\)

Одно решение.

4) \(y = x^2 — 3\), \(y = 6 — x^2\)

\(x^2 — 3 = 6 — x^2\)
\(2x^2 = 9\)
\(x^2 = \frac{9}{2}\)
\(x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}\)

Два решения.

5) \(xy = -6\), \(2x — y = 3\)

\(y = 2x — 3\)
\(x(2x — 3) = -6\)
\(2x^2 — 3x + 6 = 0\)
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 — 48 = -39\)

Нет решений (\(\emptyset\)).

6) \(x^2 — 4x + y = -1\), \(xy = 4\)

\(y = 4/x\)
\(x^2 — 4x + \frac{4}{x} = -1\)
\(x^2 — 4x + \frac{4}{x} + 1 = 0\)
Домножим на \(x\):

\(x^3 — 4x^2 + 4 + x = 0\)
\(x^3 — 4x^2 + x + 4 = 0\)

У этого кубического уравнения три корня.

Три решения.

1) \(x^2 + y^2 = 3\), \(y = x\)

Подставим \(y = x\) во второе уравнение в первое: \(x^2 + x^2 = 3\). Получаем \(2x^2 = 3\). Значит, \(x^2 = \frac{3}{2}\). Тогда \(x = \sqrt{\frac{3}{2}}\) и \(x = -\sqrt{\frac{3}{2}}\). Для каждого значения \(x\) находим \(y\): \(y = x\). Значит, два решения.

2) \(x^2 + y^2 = 4\), \(y = 2 — x^2\)

Подставим \(y = 2 — x^2\) в первое уравнение: \(x^2 + (2 — x^2)^2 = 4\). Раскроем скобки: \(x^2 + 4 — 4x^2 + x^4 = 4\). Приведём подобные: \(x^4 — 3x^2 + 4 = 4\). Переносим 4: \(x^4 — 3x^2 = 0\). Вынесем \(x^2\): \(x^2(x^2 — 3) = 0\). Значит, \(x^2 = 0\) или \(x^2 = 3\). Соответственно, \(x = 0\), \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\). Найдём \(y\) для каждого \(x\): при \(x = 0, y = 2\); при \(x = \sqrt{3}, y = 2 — 3 = -1\); при \(x = -\sqrt{3}, y = -1\). Всего три решения.

3) \(y = \sqrt{x}\), \(x — y = 2\)

Подставим \(y = \sqrt{x}\) во второе уравнение: \(x — \sqrt{x} = 2\). Пусть \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^2\), получаем \(t^2 — t = 2\), или \(t^2 — t — 2 = 0\). Решим квадратное уравнение: дискриминант \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). \(t = \frac{1 \pm 3}{2}\). \(t_1 = 2\), \(t_2 = -1\). Так как \(t \geq 0\), берём только \(t = 2\). Тогда \(x = 4\), \(y = 2\). Одно решение.

4) \(y = x^2 — 3\), \(y = 6 — x^2\)

Приравняем правые части: \(x^2 — 3 = 6 — x^2\). Переносим: \(x^2 + x^2 = 6 + 3\), \(2x^2 = 9\), \(x^2 = \frac{9}{2}\), \(x = \frac{3}{\sqrt{2}}\), \(x = -\frac{3}{\sqrt{2}}\). Для каждого значения \(x\) найдём \(y\): \(y = x^2 — 3 = \frac{9}{2} — 3 = \frac{3}{2}\). Два решения.

5) \(xy = -6\), \(2x — y = 3\)

Выразим \(y = 2x — 3\). Подставим во второе уравнение: \(x(2x — 3) = -6\). Раскроем скобки: \(2x^2 — 3x + 6 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 — 48 = -39\). Так как дискриминант отрицательный, решений нет (\(\emptyset\)).

6) \(x^2 — 4x + y = -1\), \(xy = 4\)

Выразим \(y = \frac{4}{x}\). Подставим во второе уравнение: \(x^2 — 4x + \frac{4}{x} = -1\). Перенесём \(-1\): \(x^2 — 4x + \frac{4}{x} + 1 = 0\). Домножим на \(x\): \(x^3 — 4x^2 + 4 + x = 0\), \(x^3 — 4x^2 + x + 4 = 0\). Это кубическое уравнение имеет три корня, значит, три решения.