ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 454 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:
1) \(\begin{cases} y = (x-5)^2, \\ xy = 5; \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y — x = 3; \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} y — x^2 = 1, \\ x^2 + y = 4x; \end{cases}\)
4) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ xy = 1. \end{cases}\)

1) Подставим из второго уравнения \( y = \frac{5}{x} \) в первое: \( \frac{5}{x} = (x-5)^2 \). Получим уравнение \( (x-5)^2 x = 5 \), или \( x^3 — 10x^2 + 25x — 5 = 0 \). Это кубическое уравнение, у него может быть до 3 корней, но по графику видно, что решений 2.

2) Из второго уравнения \( y = x + 3 \). Подставим в первое: \( x^2 + (x+3)^2 = 1 \), \( x^2 + x^2 + 6x + 9 = 1 \), \( 2x^2 + 6x + 8 = 0 \), \( x^2 + 3x + 4 = 0 \). Дискриминант \( D = 9 — 16 = -7 \), корней нет, значит решений нет, ответ \( \emptyset \).

3) Из первого уравнения \( y = x^2 + 1 \). Подставим во второе: \( x^2 + x^2 + 1 = 4x \), \( 2x^2 — 4x + 1 = 0 \). Решим квадратное уравнение: дискриминант \( D = 16 — 8 = 8 \), значит два корня и два решения.

4) Из второго уравнения \( y = \frac{1}{x} \). Подставим в первое: \( x^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 6 \), \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \). Домножим на \( x^2 \): \( x^4 — 6x^2 + 1 = 0 \). Это биквадратное уравнение, заменим \( t = x^2 \): \( t^2 — 6t + 1 = 0 \). Дискриминант \( D = 36 — 4 = 32 \), значит два положительных значения \( t \), для каждого по два значения \( x \), всего четыре решения.

1) Для системы уравнений \( y = (x-5)^2 \) и \( x y = 5 \) сначала выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = \frac{5}{x} \). Подставим это выражение во второе уравнение: \( \frac{5}{x} = (x-5)^2 \). Домножим обе части на \( x \), чтобы избавиться от знаменателя: \( 5 = (x-5)^2 x \), или \( x^3 — 10x^2 + 25x — 5 = 0 \). Это кубическое уравнение третьей степени, которое может иметь до трёх действительных корней, но по графику видно, что пересечения две, значит, система имеет 2 решения.

2) Для системы \( x^2 + y^2 = 1 \) и \( y = x + 3 \) подставим выражение для \( y \) во второе уравнение: \( x^2 + (x+3)^2 = 1 \). Раскроем скобки: \( x^2 + x^2 + 6x + 9 = 1 \), то есть \( 2x^2 + 6x + 8 = 0 \). Разделим обе части на 2: \( x^2 + 3x + 4 = 0 \). Найдём дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7 \). Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней и система не имеет решений, ответ \(\emptyset\).

3) Для системы \( y = x^2 + 1 \) и \( x^2 + y = 4x \) выразим \( y \) из первого уравнения и подставим во второе: \( x^2 + (x^2 + 1) = 4x \). Получим \( 2x^2 + 1 = 4x \), или \( 2x^2 — 4x + 1 = 0 \). Решим квадратное уравнение: дискриминант \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 — 8 = 8 \). Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных корня, значит, система имеет 2 решения.

4) Для системы \( x^2 + y^2 = 6 \) и \( y = \frac{1}{x} \) подставим выражение для \( y \) в первое уравнение: \( x^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 6 \). Получим \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \). Домножим обе части на \( x^2 \): \( x^4 + 1 = 6x^2 \), или \( x^4 — 6x^2 + 1 = 0 \). Введём замену \( t = x^2 \), получаем биквадратное уравнение \( t^2 — 6t + 1 = 0 \). Дискриминант \( D = 36 — 4 \cdot 1 = 32 \), значит, два положительных значения для \( t \), а значит для каждого по два значения \( x \) (положительное и отрицательное), всего четыре решения.