ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 455 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} 3x + 4y = 24, \\ xy = 12; \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} y + 2x = 0, \\ x^2 + y^2 — 6y = 0; \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} x^2 — xy — y^2 = 19, \\ x — y = 7; \end{cases}\)
4) \(\begin{cases} x + y = 5, \\ (x-3)(y+5) = 6; \end{cases}\)
5) \(\begin{cases} 4y — 3x = 4, \\ 5x^2 + 16y = 60; \end{cases}\)
6) \(\begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 — x — 2y = 3, \\ x + y = 3. \end{cases}\)

\( x y = 12, \ y = \frac{12}{x} \)
\( 3x + 4y = 24 \)
\( 3x + 4 \cdot \frac{12}{x} = 24 \)
\( 3x + \frac{48}{x} = 24 \)
\( 3x^{2} + 48 = 24x \)
\( 3x^{2} — 24x + 48 = 0 \)
\( x^{2} — 8x + 16 = 0 \)
\( (x-4)^{2} = 0 \)
\( x = 4, \ y = \frac{12}{4} = 3 \)
\( (4; 3) \)

\( y + 2x = 0, \ y = -2x \)
\( x^{2} + y^{2} — 6y = 0 \)
\( x^{2} + (-2x)^{2} — 6(-2x) = 0 \)
\( x^{2} + 4x^{2} + 12x = 0 \)
\( 5x^{2} + 12x = 0 \)
\( x(5x + 12) = 0 \)
\( x_{1} = 0, \ x_{2} = -2.4 \)
\( y_{1} = 0, \ y_{2} = 4.8 \)
\( (0; 0), \ (-2.4; 4.8) \)

\( x — y = 7, \ y = x — 7 \)
\( x^{2} — x y — y^{2} = 19 \)
\( x^{2} — x(x-7) — (x-7)^{2} = 19 \)
\( x^{2} — x^{2} + 7x — (x^{2} — 14x + 49) = 19 \)
\( 7x — x^{2} + 14x — 49 = 19 \)
\( -x^{2} + 21x — 49 = 19 \)
\( -x^{2} + 21x — 68 = 0 \)
\( x^{2} — 21x + 68 = 0 \)
\( D = 441 — 4 \cdot 68 = 169 \)
\( x_{1} = \frac{21 — 13}{2} = 4, \ x_{2} = \frac{21 + 13}{2} = 17 \)
\( y_{1} = 4 — 7 = -3, \ y_{2} = 17 — 7 = 10 \)
\( (4; -3), \ (17; 10) \)

\( x + y = 5, \ y = 5 — x \)
\( (x-3)(y+5) = 6 \)
\( (x-3)(5-x+5) = 6 \)
\( (x-3)(10-x) = 6 \)
\( 10x — x^{2} — 30 + 3x = 6 \)
\( -x^{2} + 13x — 30 = 6 \)
\( -x^{2} + 13x — 36 = 0 \)
\( x^{2} — 13x + 36 = 0 \)
\( D = 169 — 144 = 25 \)
\( x_{1} = \frac{13 — 5}{2} = 4 \)
\( x_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9 \)
\( y_{1} = 5 — 4 = 1 \)
\( y_{2} = 5 — 9 = -4 \)
\( (4; 1), \ (9; -4) \)

\( 4y — 3x = 4, \ 4y = 3x + 4, \ y = \frac{3x + 4}{4} \)
\( 5x^{2} + 16y = 60 \)
\( 5x^{2} + 16 \left(\frac{3x + 4}{4}\right) = 60 \)
\( 5x^{2} + 12x + 16 = 60 \)
\( 5x^{2} + 12x — 44 = 0 \)
\( D = 12^{2} — 4 \cdot 5 \cdot (-44) = 1024 \)
\( x_{1} = \frac{-12 — 32}{10} = -4.4 \)
\( x_{2} = \frac{-12 + 32}{10} = 2 \)
\( y_{1} = \frac{3 \cdot (-4.4) + 4}{4} = -2.3 \)
\( y_{2} = \frac{3 \cdot 2 + 4}{4} = 2.5 \)
\( (-4.4; -2.3), \ (2; 2.5) \)

\( x + y = 3, \ y = 3 — x \)
\( x^{2} + 3xy + y^{2} — x — 2y = 3 \)
\( x^{2} + 3x(3-x) + (3-x)^{2} — x — 2(3-x) = 3 \)
\( x^{2} + 9x — 3x^{2} + 9 — 6x + x^{2} — x — 6 + 2x = 3 \)
\( x^{2} — 4x = 0 \)
\( x(x-4) = 0 \)
\( x_{1} = 0, \ x_{2} = 4 \)
\( y_{1} = 3 — 0 = 3 \)
\( y_{2} = 3 — 4 = -1 \)
\( (0; 3), \ (4; -1) \)

1.
Рассмотрим систему: \( xy = 12 \) и \( 3x + 4y = 24 \). Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \( y = \frac{12}{x} \). Подставим это выражение во второе уравнение: \( 3x + 4 \cdot \frac{12}{x} = 24 \). Преобразуем: \( 3x + \frac{48}{x} = 24 \). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \( x \): \( 3x^{2} + 48 = 24x \). Переносим все в одну сторону: \( 3x^{2} — 24x + 48 = 0 \). Разделим обе части на 3 для упрощения: \( x^{2} — 8x + 16 = 0 \). Найдём дискриминант: \( D = 64 — 64 = 0 \). Таким образом, уравнение имеет один корень: \( x = \frac{8}{2} = 4 \). Теперь найдём \( y \): \( y = \frac{12}{4} = 3 \). Ответ: \( (4; 3) \).

2.
Дана система: \( y + 2x = 0 \) и \( x^{2} + y^{2} — 6y = 0 \). Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = -2x \). Подставим во второе уравнение: \( x^{2} + (-2x)^{2} — 6(-2x) = 0 \). Получаем: \( x^{2} + 4x^{2} + 12x = 0 \), то есть \( 5x^{2} + 12x = 0 \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(5x + 12) = 0 \). Имеем два решения: \( x_{1} = 0 \) и \( x_{2} = -\frac{12}{5} \). Для первого случая: \( y_{1} = -2 \cdot 0 = 0 \), для второго: \( y_{2} = -2 \cdot (-\frac{12}{5}) = \frac{24}{5} = 4.8 \). Ответ: \( (0; 0) \), \( (-2.4; 4.8) \).

3.
Система: \( x — y = 7 \) и \( x^{2} — xy — y^{2} = 19 \). Выразим \( y \): \( y = x — 7 \). Подставим во второе уравнение: \( x^{2} — x(x — 7) — (x — 7)^{2} = 19 \). Раскроем скобки: \( x^{2} — x^{2} + 7x — (x^{2} — 14x + 49) = 19 \). Получаем: \( 7x — x^{2} + 14x — 49 = 19 \). Приведём подобные: \( -x^{2} + 21x — 49 = 19 \). Переносим всё в одну сторону: \( -x^{2} + 21x — 68 = 0 \), или \( x^{2} — 21x + 68 = 0 \). Дискриминант: \( D = 441 — 4 \cdot 68 = 441 — 272 = 169 \). Корни: \( x_{1} = \frac{21 — 13}{2} = 4 \), \( x_{2} = \frac{21 + 13}{2} = 17 \). Соответственно, \( y_{1} = 4 — 7 = -3 \), \( y_{2} = 17 — 7 = 10 \). Ответ: \( (4; -3) \), \( (17; 10) \).

4.
Система: \( x + y = 5 \) и \( (x-3)(y+5) = 6 \). Выразим \( y \): \( y = 5 — x \). Подставим во второе уравнение: \( (x-3)((5-x)+5) = 6 \) или \( (x-3)(10-x) = 6 \). Раскроем скобки: \( 10x — x^{2} — 30 + 3x = 6 \), \( -x^{2} + 13x — 30 = 6 \). Переносим всё в одну сторону: \( -x^{2} + 13x — 36 = 0 \), или \( x^{2} — 13x + 36 = 0 \). Дискриминант: \( D = 169 — 144 = 25 \). Корни: \( x_{1} = \frac{13 — 5}{2} = 4 \), \( x_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9 \). Находим \( y \): \( y_{1} = 5 — 4 = 1 \), \( y_{2} = 5 — 9 = -4 \). Ответ: \( (4; 1) \), \( (9; -4) \).

5.
Система: \( 4y — 3x = 4 \) и \( 5x^{2} + 16y = 60 \). Из первого уравнения выразим \( y \): \( 4y = 3x + 4 \), \( y = \frac{3x + 4}{4} \). Подставим во второе уравнение: \( 5x^{2} + 16 \cdot \frac{3x + 4}{4} = 60 \), то есть \( 5x^{2} + 12x + 16 = 60 \). Преобразуем: \( 5x^{2} + 12x — 44 = 0 \). Дискриминант: \( D = 12^{2} — 4 \cdot 5 \cdot (-44) = 144 + 880 = 1024 \). Корни: \( x_{1} = \frac{-12 — 32}{10} = -4.4 \), \( x_{2} = \frac{-12 + 32}{10} = 2 \). Для \( x_{1} \): \( y_{1} = \frac{3 \cdot (-4.4) + 4}{4} = \frac{-13.2 + 4}{4} = \frac{-9.2}{4} = -2.3 \). Для \( x_{2} \): \( y_{2} = \frac{3 \cdot 2 + 4}{4} = \frac{6 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \). Ответ: \( (-4.4; -2.3) \), \( (2; 2.5) \).

6.
Система: \( x + y = 3 \) и \( x^{2} + 3xy + y^{2} — x — 2y = 3 \). Выразим \( y \): \( y = 3 — x \). Подставим во второе уравнение: \( x^{2} + 3x(3-x) + (3-x)^{2} — x — 2(3-x) = 3 \). Раскроем скобки: \( x^{2} + 9x — 3x^{2} + 9 — 6x + x^{2} — x — 6 + 2x = 3 \). Приведём подобные: \( x^{2} — 4x = 0 \). Вынесем \( x \): \( x(x-4) = 0 \). Решения: \( x_{1} = 0 \), \( x_{2} = 4 \). Для \( x_{1} \): \( y_{1} = 3 — 0 = 3 \). Для \( x_{2} \): \( y_{2} = 3 — 4 = -1 \). Ответ: \( (0; 3) \), \( (4; -1) \).